已知函数f（x）=lnx+a2x2-（a+1）x（a∈R），g（x）=f（x）-a2x2+（a+1）x．
（1）讨论f（x）的单调性；
（2）任取两个正数x1，x2，当x1＜x2时，求证：g（x1）-g（x2）＜2（x1-x2）x1+x2．
f
（
x
）
=
lnx
+
a
2
x
2
-
（
a
+
1
）
x
（
a
∈
R
）
，
g
（
x
）
=
f
（
x
）
-
a
2
x
2
+
（
a
+
1
）
x
g
（
x
1
）
-
g
（
x
2
）
＜
2
（
x
1
-
x
2
）
x
1
+
x
2
【考点】利用导数研究函数的最值；利用导数研究函数的单调性．
【答案】（1）当a≤0时，f（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减；
当0＜a＜1时，f（x）在（0，1），上单调递增，在上单调递减；
当a=1时，f（x）在（0，+∞）上单调递增；
当a＞1时，f（x）在，（1，+∞）上单调递增，在上单调递减；
（2）证明过程见解答．
当0＜a＜1时，f（x）在（0，1），
（
1
a
，
+
∞
）
（
1
，
1
a
）
当a=1时，f（x）在（0，+∞）上单调递增；
当a＞1时，f（x）在
（
0
，
1
a
）
（
1
a
，
1
）
（2）证明过程见解答．
【解答】
【点评】
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发布：2024/8/4 8:0:9组卷：252引用：6难度：0.3
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