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已知一个各个数位上的数字均不为0的四位正整数
M
=
abcd
（
a
＞
c
）
，以它的百位数字作为十位，个位数字作为个位，组成一个新的两位数s,若s等于M的千位数字与十位数字的平方差，则称这个数M为“平方差数”，将它的百位数字和千位数字组成两位数
ba
，个位数字和十位数字组成两位数
dc
，并记
T
（
M
）
=
ba
+
dc
．
例如：6237是“平方差数”，因为6²-3²=27，所以6237是“平方差数”；
此时T（6237）=26+73=99．
又如：5135不是“平方差数”，因为5²-3²=16≠15，所以5135不是“平方差数”．
（1）判断7425是否是“平方差数”？并说明理由；
（2）若
M
=
abcd
是“平方差数”，且T（M）比M的个位数字的9倍大30，求所有满足条件的“平方差数”M．

【考点】因式分解的应用．

【答案】（1）是，理由如下；
（2）M=8175或5214．

【解答】

【点评】

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发布：2024/7/11 8:0:9组卷：416引用：5难度：0.5

相似题

1．对任意一个数m,如果m等于两个正整数的平方和，那么称这个数m为“平方和数”，若m=a²+b²（a、b为正整数），记A（m）=ab.例如：29=2²+5²，29就是一个“平方和数”，则A（29）=2×5=10．
（1）判断45是否是“平方和数”，若是，请计算A（45）的值；若不是，请说明理由；
（2）若k是一个不超过50的“平方和数”，且A（k）=
k
-
9
2
，求k的值；
（3）对任意一个数m,如果m等于两个整数的平方和，那么称这个数m为“广义平方和数”，若m和n都是“广义平方和数”，请说明它们的乘积mn也是“广义平方和数”．
发布：2025/6/8 22:30:1组卷：92引用：2难度：0.6
解析
2．若一个整数能表示成a²+b²（a、b是整数）的形式，则称这个数为“完美数”，
例如，5是“完美数”．因为5=2²+1²．
再如，M=5x²+5y²=x²+y²+4x²+4y²
=x²+y²+4x²+4y²+4xy-4xy
=（x+2y）²+（2x-y）²（x、y是整数），所以M也是“完美数”．
（1）请你再写出一个小于20的“完美数”；
（2）判断9x²+1+4y²-12xy（x,y是整数）是否为“完美数”；并说明原因．
发布：2025/6/8 22:30:1组卷：69引用：1难度：0.7
解析
3．如果一个四位数M满足各个数位数字都不为0，且千位数字与百位数字之和为9，将M的千位数字与百位数字组成的两位数记为x,十位数字与个位数字组成的两位数记为y,令F（M）=
x
+
2
y
9
，若F（M）为整数，则称数M是“久久为功数”．
例如：M=2754，∵2+7=9，x=27，y=54，F（M）=
27
+
2
×
54
9
=15为整数，∴M=2754是“久久为功数”；又如：M=6339，∵6+3=9，x=63，y=39，F（M）=
63
+
2
×
39
9
=
47
3
不为整数，∴M=6339不是“久久为功数”．
（1）判断1827，4532是否是“久久为功数”，并说明理由；
（2）把一个“久久为功数”M的千位数字记为a,十位数字记为b,个位数字记为c,令G（M）=
2
c
-
3
a
2
b
+
3
a
，当G（M）为整数时，求出所有满足条件的M．
发布：2025/6/8 21:0:2组卷：111引用：1难度：0.5
解析