设点P是双曲线x2a2-y2b2=1（a＞0，b＞0）上任意一点，过点P的直线与两渐近线分别交于P1，P2，设λ=P1PPP2，求证：S△OP1P2=（1+λ）24|λ|ab.
x
2
a
2
y
2
b
2
P
1
P
P
P
2
S
△
O
P
1
P
2
（
1
+
λ
）
2
4
|
λ
|
【考点】双曲线的几何特征．
【答案】证明：设P（x，y），P1（x1，y1），P2（x2，y2），
则y1=x1，y2=-x2，∵λ=，
∴x=，y===•，
由点P（x，y）在双曲线-=1（a＞0，b＞0）上，
∴-=1，
化简得：x1x2=，
又|OP1|==|x1|，同理可得|OP2|=|x2|，
∴|OP1|•|OP2|=|x1|•|x1|=•=．
设直线OP1与OP2所成的夹角为2θ，∵tanθ=，
∴tan2θ===，
∴sin2θ==，
∴=•|OP1|•|OP2|sin2θ=
•=ab．
则y1=
b
a
b
a
P
1
P
P
P
2
∴x=
x
1
+
λx
2
1
+
λ
y
1
+
λy
2
1
+
λ
b
a
x
1
+
λ
（
-
b
a
x
2
）
1
+
λ
b
a
x
1
-
λx
2
1
+
λ
由点P（x，y）在双曲线
x
2
a
2
y
2
b
2
∴
（
x
1
+
λx
2
）
2
a
2
（
1
+
λ
）
2
（
x
1
-
λx
2
）
2
a
2
（
1
+
λ
）
2
化简得：x1x2=
a
2
（
1
+
λ
）
2
4
λ
又|OP1|=
x
1
2
+
b
2
a
2
x
1
2
c
a
c
a
∴|OP1|•|OP2|=
c
a
c
a
c
2
a
2
a
2
（
1
+
λ
）
2
4
|
λ
|
c
2
（
1
+
λ
）
2
4
|
λ
|
设直线OP1与OP2所成的夹角为2θ，∵tanθ=
b
a
∴tan2θ=
2
tanθ
1
-
tan
2
θ
2
×
b
a
1
-
b
2
a
2
2
ab
a
2
-
b
2
∴sin2θ=
2
ab
（
a
2
-
b
2
）
2
+
（
2
ab
）
2
2
ab
c
2
∴
S
△
OP
1
P
2
1
2
1
2
• |
a
2
（
1
+
λ
）
2
4
|
λ
|
2
ab
c
2
（
1
+
λ
）
2
4
|
λ
|
【解答】
【点评】
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发布：2024/6/27 10:35:59组卷：88引用：1难度：0.1
