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已知
a
=（1，0），
b
=（-
3
2
，-
1
2
），
c
=（
3
2
，-
1
2
），x
a
+y
b
+z
c
=（1，1），则x²+y²+z²的最小值
12
5
12
5
．

【考点】平面向量的综合题．

【答案】

【解答】

【点评】

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发布：2024/12/29 13:0:1组卷：190引用：3难度：0.5

相似题

1．对于三维向量
a
k
=（x_k，y_k，z_k）（x_k，y_k，z_k∈N，k=0，1，2，…），定义“F变换”：
a
k
+
1
=F（
a
k
），其中，x_k+1=|x_k-y_k|，y_k+1=|y_k-z_k|，z_k+1=|z_k-x_k|．记〈
a
k
〉=x_ky_kz_k，||
a
k
||=x_k+y_k+z_k．
（1）若
a
0
=（3，1，2），求〈
a
2
〉及||
a
2
||；
（2）证明：对于任意
a
0
，经过若干次F变换后，必存在K∈N^*，使〈
a
K
〉=0；
（3）已知
a
1
=（p,2，q）（q≥p），||
a
1
||=2024，将
a
1
再经过m次F变换后，||
a
m
||最小，求m的最小值．
发布：2024/10/11 11:0:2组卷：254引用：3难度：0.1
解析
2．对于空间向量
m
=
（
a
,
b
,
c
）
，定义
|
|
m
|
|
=
max
{
|
a
|
，
|
b
|
，
|
c
|
}
，其中max{x,y,z}表示x,y,z这三个数的最大值．
（Ⅰ）已知
a
=
（
3
，-
4
，
2
）
，
b
=
（
x
,-
x
,
2
x
）
．
①直接写出
|
|
a
|
|
和
|
|
b
|
|
（用含x的式子表示）；
②当0≤x≤4，写出
|
|
a
-
b
|
|
的最小值及此时x的值；
（Ⅱ）设
a
=
（
x
1
，
y
1
，
z
1
）
，
b
=
（
x
2
，
y
2
，
z
2
）
，求证：
|
|
a
+
b
|
|
≤
|
|
a
|
|
+
|
|
b
|
|
；
（Ⅲ）在空间直角坐标系O-xyz中，A（2，0，0），B（0，2，0），C（0，0，2），点Q是△ABC内部的动点，直接写出
|
|
OQ
|
|
的最小值（无需解答过程）．
发布：2024/10/21 12:0:1组卷：91引用：2难度：0.3
解析
3．如图，在平行四边形ABCD中，|
AB
|=3，|
BC
|=2，
e
1
=
AB
|
AB
|
，
e
2
=
AD
|
AD
|
，
AB
与
AD
的夹角为
π
3
．
（1）若
AC
=x
e
1
+y
e
2
，求x、y的值；
（2）求
AC
•
BD
的值；
（3）求
AC
与
BD
的夹角的余弦值．
发布：2024/12/29 1:30:1组卷：978引用：10难度：0.1
解析

已知a=（1，0），b=（-32，-12），c=（32，-12），xa+yb+zc=（1，1），则x2+y2+z2的最小值125125．

3．如图，在平行四边形ABCD中，|AB|=3，|BC|=2，e1=AB|AB|，e2=AD|AD|，AB与AD的夹角为π3．（1）若AC=xe1+ye2，求x、y的值；（2）求AC•BD的值；（3）求AC与BD的夹角的余弦值．

已知
a
=（1，0），
b
=（-
3
2
，-
1
2
），
c
=（
3
2
，-
1
2
），x
a
+y
b
+z
c
=（1，1），则x²+y²+z²的最小值
12
5
12
5
．

3．如图，在平行四边形ABCD中，|
AB
|=3，|
BC
|=2，
e
1
=
AB
|
AB
|
，
e
2
=
AD
|
AD
|
，
AB
与
AD
的夹角为
π
3
．
（1）若
AC
=x
e
1
+y
e
2
，求x、y的值；
（2）求
AC
•
BD
的值；
（3）求
AC
与
BD
的夹角的余弦值．