综合与实践
【课本再现】在一次课题学习活动中，老师提出了如下问题：如图1，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点，∠AEF=90°，且EF交正方形外角平分线CF于点F．请你探究AE与EF存在怎样的数量关系，并证明你的结论．
经过探究，小明得出的结论是AE=EF．而要证明结论AE=EF，就需要证明AE和EF所在的两个三角形全等，但△ABE和△ECF显然不全等（一个是直角三角形，一个是钝角三角形），考虑到点E是边BC的中点，小明想到的方法是如图2，取AB的中点M，连接EM，证明△AEM≌△EFC．从而得到AE=EF．
（1）小明的证法中，证明△AEM≌△EFC的条件可以为 CC．
A．边边边 B．边角边 C．角边角 D．斜边直角边
【类比迁移】
（2）如图3，若把条件“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC上的任意一点”，其余条件不变，AE=EF是否仍然成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．
（3）如图4，如果点E是边BC延长线上的任意一点，其他条件不变，AE=EF是否仍然成立？是是（填“是”或“否”，不需证明）；
【拓展应用】
（4）已知：四边形ABCD是正方形，点E是直线BC上的一点，∠AEF=90°，且EF交正方形外角平分线CF于点F，若AB=4，CE=2，则EF的长为 25或21325或213．
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【考点】四边形综合题．
【答案】C；是；或
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【解答】
【点评】
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发布：2024/7/4 8:0:9组卷：320引用：4难度：0.5
相似题
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1．如图所示，在平行四边形ABCD中，∠DAC=60°，点E是BC边上一点，连接AE，AE=AB，点F是对角线AC边上一动点，连接EF．
（1）如图1，若点F与对角线交点O重合，已知BE=4，OC：EC=5：3，求AC的长度；
（2）如图2，若EC=FC，点G是AC边上一点，连接BG、EG，已知∠AEG=60°，∠AGB+∠BCD=180°，求证：BG+EG=DC．
（3）如图3，若BE=4，CE=，将EF绕点E逆时针旋转90°得EF'，请直接写出当AF'+433BF'取得最小值时△ABF′的面积．12
发布：2025/6/21 23:30:2组卷：402引用：1难度：0.4 -
2．平行四边形ABCD中，AB⊥AC，点E在边AD上，连BE．
（1）如图1，AC交BE于点G，若BE平分∠ABC，且∠DAC=30°，CG=2，请求出四边形EGCD的面积；
（2）如图2，点F在对角线AC上，且AF=AB，连BF，过点F作FH⊥BE于H，连AH并延长交CD于点M，点N在边AD上，连MN．若AN=BF，2∠NMD=∠DAC+∠HBF，求证：HF+AH=AC．2
（3）如图3，线段PO在线段BE上运动，点R在边BC上，连接CQ、PR．若BE平分∠ABC，∠DAC=30°，AB=，PQ=3，BC=4BR．请直接写出线段CQ+PQ+PR的和的最小值以及此时△CQE的面积．32
发布：2025/6/22 1:0:1组卷：261引用：3难度：0.5 -
3．如图，四边形ABCD是平行四边形，点E、F在BC上，且CF=BE，连接DE，过点F作FG⊥AB于点G．
（1）如图1，若∠B=60°，DE平分∠ADC，且CD=2CF，CD=6，求平行四边形ABCD的面积．3
（2）点H在GF上，且HE=HF，延长EH交AC，CD于点O，Q，连接AQ，若AC=BC=EQ，∠EQC=45°，求证：CE=BG+DQ．2发布：2025/6/21 23:0:2组卷：155引用：1难度：0.1
