如果一个四边形的对角线相等，我们称这个四边形为美好四边形．
【问题提出】
（1）如图①，点E是四边形ABCD内部一点，且满足EB=EC，EA=ED，∠BEC=∠AED，请说明四边形ABCD是美好四边形；
【问题探究】
（2）如图②，△ABC，请利用尺规作图，在平面内作出点D使得四边形ABCD是美好四边形，且满足AD=BD．保留作图痕迹，不写画法；
（3）在（2）的条件下，若图②中△ABC满足：∠ABC=90°，AB=4，BC=3，求四边形ABCD的面积；
【问题解决】
（4）如图③，某公园内需要将4个信号塔分别建在A、B、C、D四处，现要求信号塔C建在公园内一个湖泊的边上，该湖泊可近似看成一个半径为200m的圆，记为⊙E．已知点A到该湖泊的最近距离为500m,是否存在这样的点D，满足AC=BD，且使得四边形ABCD的面积最大？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由．
【考点】圆的综合题．
【答案】（1）说明四边形ABCD是美好四边形见解答过程；
（2）作图见解答过程；
（3）四边形ABCD的面积为2+3；
（4）存在这样的点D，满足AC=BD，且使得四边形ABCD的面积最大，四边形ABCD的面积最大为405000m2．
（2）作图见解答过程；
（3）四边形ABCD的面积为2
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（4）存在这样的点D，满足AC=BD，且使得四边形ABCD的面积最大，四边形ABCD的面积最大为405000m2．
【解答】
【点评】
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发布：2025/5/25 3:30:2组卷：216引用：2难度：0.1
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1．已知扇形OAB的半径为4，∠AOB=90°，点P是OA的中点，点Q是弧AB上的一个动点，如图1，将扇形沿PQ折叠，点A的对应点为A'，连接AA'．
（1）如图2，当点O与点A'重合时，求弧BQ的长．
（2）在点Q的运动过程中，求点A′与点B之间的最小距离．
（3）如图3，当Q是弧AB上的中点时，求tan∠APQ的值．发布：2025/5/25 8:30:2组卷：146引用：2难度：0.5 -
2．如图，四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC为⊙O的直径，过点C作CE⊥AC交AD的延长线于点E，F为CE的中点，连接DB，DF．
（1）求∠CDE的度数．
（2）求证：DF是⊙O的切线．
（3）若tan∠ABD=3时，求的值．ACDE发布：2025/5/25 8:0:2组卷：939引用：6难度：0.4 -
3．如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，点D是的中点，过点D作⊙O的切线，与AB、AC的延长线分别交于点E、F，连接AD．ˆBC
（1）求证：AF⊥EF．
（2）填空：
①已知AB=8，当BE=时，AC=CF．
②连接BD、CD、OC．当∠E的度数为时，四边形OBDC是菱形．发布：2025/5/25 9:0:1组卷：173引用：2难度：0.4
