已知点P（2，0）及圆C：x2+y2-6x+4y+4=0．
（Ⅰ）若直线l过点P且与圆心C的距离为1，求直线l的方程；
（Ⅱ）设过P直线l1与圆C交于M、N两点，当|MN|=4时，求以MN为直径的圆的方程；
（Ⅲ）设直线ax-y+1=0与圆C交于A，B两点，是否存在实数a,使得过点P（2，0）的直线l2垂直平分弦AB？若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由．
【考点】直线与圆的位置关系．
【答案】（Ⅰ）3x+4y-6=0；
（Ⅱ）（x-2）2+y2=4；
（Ⅲ）不存在，理由如下：
把直线ax-y+1=0即y=ax+1．代入圆C的方程，消去y，整理得（a2+1）x2+6（a-1）x+9=0．
由于直线ax-y+1=0交圆C于A，B两点，
故Δ=36（a-1）2-36（a2+1）＞0，即-2a＞0，解得a＜0．
则实数a的取值范围是（-∞，0）．
设符合条件的实数a存在，
由于l2垂直平分弦AB，故圆心C（3，-2）必在l2上．
所以l2的斜率kPC=-2，
而，
所以．
由于，
故不存在实数a，使得过点P（2，0）的直线l2垂直平分弦AB．
（Ⅱ）（x-2）2+y2=4；
（Ⅲ）不存在，理由如下：
把直线ax-y+1=0即y=ax+1．代入圆C的方程，消去y，整理得（a2+1）x2+6（a-1）x+9=0．
由于直线ax-y+1=0交圆C于A，B两点，
故Δ=36（a-1）2-36（a2+1）＞0，即-2a＞0，解得a＜0．
则实数a的取值范围是（-∞，0）．
设符合条件的实数a存在，
由于l2垂直平分弦AB，故圆心C（3，-2）必在l2上．
所以l2的斜率kPC=-2，
而
k
AB
=
a
=
-
1
k
PC
所以
a
=
1
2
由于
1
2
∉
（
-
∞
，
0
）
故不存在实数a，使得过点P（2，0）的直线l2垂直平分弦AB．
【解答】
【点评】
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发布：2024/4/20 14:35:0组卷：351引用：30难度：0.3
