在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点F、T、M、P满足OF=（1，0），OT=（-1，t），FM=MT，PM⊥FT，PT∥OF．
（Ⅰ）当t变化时，求点P的轨迹C的方程；
（Ⅱ）若过点F的直线交曲线C于A，B两点，求证：直线TA、TF、TB的斜率依次成等差数列．
OF
=
（
1
，
0
）
OT
=
（
-
1
，
t
）
FM
=
MT
，
PM
⊥
FT
，
PT
∥
OF
【考点】直线与圆锥曲线的综合．
【答案】（Ⅰ）y2=4x；
（Ⅱ）证明：设直线TA，TF，TB的斜率依次为k1，k，k2，并记A（x1，y1），B（x2，y2），
则
设直线AB方程为x=my+1
，得y2-4my-4=0，∴
，
∴+=（y1+y2）2-2y1y2=16m2+8，
∴
=
=
=-t=2k
∴k1，k，k2成等差数列．
（Ⅱ）证明：设直线TA，TF，TB的斜率依次为k1，k，k2，并记A（x1，y1），B（x2，y2），
则
k
=
-
t
2
设直线AB方程为x=my+1
y 2 = 4 x |
x = my + 1 |
y 1 + y 2 = 4 m |
y 1 • y 2 = - 4 |
∴
y
2
1
y
2
2
∴
k
1
+
k
2
=
y
1
-
t
x
1
+
1
+
y
2
-
t
x
2
+
1
=
（
y
1
-
t
）
（
y
2
2
4
+
1
）
+
（
y
2
-
t
）
（
y
2
1
4
+
1
）
（
y
2
1
4
+
1
）
（
y
2
2
4
+
1
）
=
4
y
1
y
2
（
y
1
+
y
2
）
-
4
t
（
y
2
1
+
y
2
2
）
+
16
（
y
1
+
y
2
）
-
32
t
y
2
1
y
2
2
+
4
（
y
2
1
+
y
2
2
）
+
16
=-t=2k
∴k1，k，k2成等差数列．
【解答】
【点评】
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发布：2024/4/20 14:35:0组卷：103引用：5难度：0.1
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（a＞0，b＞0）上，已知PF1⊥PF2，|PF1|=2|PF2|，O为坐标原点．E：x2a2-y2b2=1
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