如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=ax2+c经过点P（4，-3），与y轴交于点A（0，1），直线y=kx（k≠0）与抛物线交于B，C两点．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）若△ABP是以AB为腰的等腰三角形，求点B的坐标；
（3）过点M（0，m）作y轴的垂线，交直线AB于点D，交直线AC于点E．试探究：是否存在常数m,使得OD⊥OE始终成立？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．
【考点】二次函数综合题．
【答案】（1）y=-x2+1；
（2）点B的坐标为（-4，-3）或（-2-2，-5-2）或（-2+2，-5+2）；
（3）存在，2或．
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4
（2）点B的坐标为（-4，-3）或（-2-2
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5
5
（3）存在，2或
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【解答】
【点评】
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发布：2024/5/4 8:0:8组卷：3578引用：4难度：0.4
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1．如图，在平面直角坐标系中，平行四边形ABOC如图放置，将此平行四边形绕点O顺时针旋转90°得到平行四边形A′B′OC′．抛物线y=-x2+2x+3经过点A、C、A′三点．
（1）求A、A′、C三点的坐标；
（2）求平行四边形ABOC和平行四边形A′B′OC′重叠部分△C′OD的面积；
（3）点M是第一象限内抛物线上的一动点，问点M在何处时，△AMA′的面积最大？最大面积是多少？并写出此时M的坐标．发布：2025/6/19 9:0:1组卷：1341引用：51难度：0.5 -
2．如图，折叠矩形OABC的一边BC，使点C落在OA边的点D处，已知折痕BE=5，且5=ODOE，以O为原点，OA所在的直线为x轴建立如图所示的平面直角坐标系，抛物线l：y=-43x2+116x+c经过点E，且与AB边相交于点F．12
（1）求证：△ABD∽△ODE；
（2）若M是BE的中点，连接MF，求证：MF⊥BD；
（3）P是线段BC上一点，点Q在抛物线l上，且始终满足PD⊥DQ，在点P运动过程中，能否使得PD=DQ？若能，求出所有符合条件的Q点坐标；若不能，请说明理由．发布：2025/6/19 9:0:1组卷：1930引用：51难度：0.5 -
3．如图，抛物线 y=x2-12x-2与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，M是直线BC下方的抛物线上一动点．32
（1）求A、B、C三点的坐标．
（2）连接MO、MC，并把△MOC沿CO翻折，得到四边形MO M′C，那么是否存在点M，使四边形MO M′C为菱形？若存在，求出此时点M的坐标；若不存在，说明理由．
（3）当点M运动到什么位置时，四边形ABMC的面积最大，并求出此时M点的坐标和四边形ABMC的最大面积．发布：2025/6/19 9:0:1组卷：2419引用：52难度：0.3
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