已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的离心率为63，椭圆短轴的一个端点与两个焦点构成的三角形的面积为523．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）已知动直线y=k（x+1）与椭圆C相交于A、B两点．
①若线段AB中点的横坐标为-12，求斜率k的值；
②若点M（-73，0），求证：MA•MB为定值．
x
2
a
2
y
2
b
2
6
3
5
2
3
1
2
7
3
MA
MB
【考点】直线与椭圆的综合．
【答案】（Ⅰ）；
（Ⅱ）已知动直线y=k（x+1）与椭圆C相交于A、B两点．
①；
②证明：①将y=k（x+1）代入中，消元得（1+3k2）x2+6k2x+3k2-5=0…（6分）
Δ=36k4-4（3k2+1）（3k2-5）=48k2+20＞0，…（7分）
因为AB中点的横坐标为，所以，解得…（9分）
②由①知，
所以
==
===．
x
2
5
+
y
2
5
3
=
1
（Ⅱ）已知动直线y=k（x+1）与椭圆C相交于A、B两点．
①
k
=±
3
3
②证明：①将y=k（x+1）代入
x
2
5
+
y
2
5
3
=
1
Δ=36k4-4（3k2+1）（3k2-5）=48k2+20＞0，
x
1
+
x
2
=
-
6
k
2
3
k
2
+
1
因为AB中点的横坐标为
-
1
2
-
3
k
2
3
k
2
+
1
=
-
1
2
k
=±
3
3
②由①知
x
1
+
x
2
=
-
6
k
2
3
k
2
+
1
x
1
x
2
=
3
k
2
-
5
3
k
2
+
1
所以
MA
•
MB
=
（
x
1
+
7
3
，
y
1
）
（
x
2
+
7
3
，
y
2
）
=
（
x
1
+
7
3
）
（
x
2
+
7
3
）
+
y
1
y
2
=
（
x
1
+
7
3
）
（
x
2
+
7
3
）
+
k
2
（
x
1
+
1
）
（
x
2
+
1
）
（
1
+
k
2
）
x
1
x
2
+
（
7
3
+
k
2
）
（
x
1
+
x
2
）
+
49
9
+
k
2
=
（
1
+
k
2
）
3
k
2
-
5
3
k
2
+
1
+
（
7
3
+
k
2
）
（
-
6
k
2
3
k
2
+
1
）
+
49
9
+
k
2
-
3
k
4
-
16
k
2
-
5
3
k
2
+
1
+
49
9
+
k
2
4
9
【解答】
【点评】
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发布：2024/6/27 10:35:59组卷：2795引用：47难度：0.5
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