如图1，抛物线y=ax²+（a+3）x+3（a≠0）与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点B，在x轴上有一动点E（m,0）（0＜m＜4），过点E作x轴的垂线交直线AB于点N，交抛物线于点P，过点P作PM⊥AB于点M．
（1）求a的值和直线AB的函数表达式；
（2）设△PMN的周长为C₁，△AEN的周长为C₂，若
C
1
C
2
=
6
5
，求m的值；
（3）如图2，在（2）条件下，将线段OE绕点O逆时针旋转得到OE'，旋转角为α（0°＜α＜90°），连接E'A、E'B，求E'A+
2
3
E'B的最小值．

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发布：2024/4/20 14:35:0组卷：2024引用：4难度：0.3

相似题

1．已知点P是二次函数y₁=-（x-m+1）²+m²-m-1图象的顶点．
（1）小明发现，对m取不同的值时，点P的位置也不同，但是这些点都在某一个函数的图象上，请协助小明完成对这个函数的表达式的探究：
①将下表填写完整：

　m -1 　0 　1 　2 　3

　P点坐标　（-2，1）　（-1，-1）

②描出表格中的五个点，猜想这些点在哪个函数的图象上？求出这个图象对应的函数表达式，并加以验证；
（2）若过点（0，2），且平行于x轴的直线与y₁=-（x-m+1）²+m²-m-1的图象有两个交点A和B，与②中得到的函数的图象有两个交点C和D，当AB=CD时，直接写出m的值等于
；
（3）若m≥2，点Q在二次函数y₁=-（x-m+1）²+m²-m-1的图象上，横坐标为m,点E在②中得到的函数的图象上，当∠EPQ=90°时，求出E点的横坐标（用含m的代数式表示）．

发布：2025/5/25 18:30:1组卷：259引用：1难度：0.3

2．如图，抛物线与坐标轴分别交于A（-1，0），B（3，0），C（0，3）．

（1）求抛物线的解析式；
（2）抛物线上是否存在点P，使得∠CBP=∠ACO，若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由；
（3）如图2，Q是△ABC内任意一点，连接AQ，BQ，CQ，分别交BC于点D，交抛物线于点E，交x轴于点F，求
DQ
AD
+
EQ
BE
+
QF
CF
的值．
发布：2025/5/25 18:30:1组卷：64引用：1难度：0.2
解析
3．已知点P（m,n）在抛物线y=ax²+2x+1上运动．
（1）当a=-1时，若点P到y轴的距离小于2，求n的取值范围；
（2）当-4≤m≤0时，n的最大值是1，求a的取值范围．
发布：2025/5/25 18:30:1组卷：205引用：2难度：0.4
解析

m	-1	0	1	2	3
P点坐标	（-2，1）	（-1，-1）