已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为22,点(2,2)在C上.
(Ⅰ)求C的方程;
(Ⅱ)直线l不经过原点O,且不平行于坐标轴,l与C有两个交点A,B,线段AB中点为M,证明:直线OM的斜率与直线l的斜率乘积为定值.
C
:
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=
1
(
a
>
b
>
0
)
2
2
(
2
,
2
)
【答案】(Ⅰ);
(Ⅱ)证明:设直线l:y=kx+b(k≠0,b≠0),A(x1,y1),B(x2,y2),M(xM,yM),
把y=kx+b代入,得(2k2+1)x2+4kbx+2b2-8=0.
故,
于是直线OM的斜率,即,
∴直线OM的斜率与直线l的斜率乘积为定值.
x
2
8
+
y
2
4
=
1
(Ⅱ)证明:设直线l:y=kx+b(k≠0,b≠0),A(x1,y1),B(x2,y2),M(xM,yM),
把y=kx+b代入
x
2
8
+
y
2
4
=
1
故
x
M
=
x
1
+
x
2
2
=
-
2
kb
2
k
2
+
1
,
y
M
=
k
x
M
+
b
=
b
2
k
2
+
1
于是直线OM的斜率
k
OM
=
y
M
x
M
=
-
1
2
k
k
OM
•
k
=
-
1
2
∴直线OM的斜率与直线l的斜率乘积为定值.
【解答】
【点评】
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发布:2024/6/27 10:35:59组卷:292引用:30难度:0.6
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