如图，曲线Γ由两个椭圆T1：x2m2+y22=1（m＞2）和椭圆T2：y22+x2=1组成，当椭圆T1，T2的离心率相等时，称曲线Γ为“猫眼曲线”
（1）求椭圆T1的方程；
（2）任作斜率为k（k≠0）且不过原点的直线与该曲线Γ相交，交椭圆T1所得弦AB的中点为M，交椭圆T2所得弦CD的中点为N，直线OM、直线ON的斜率分别为kOM、kON，试问：kOMkON是否为与k无关的定值？若是，请求出定值；若不是，请说明理由；
（3）若斜率为2的直线l为椭圆T2的切线，且交椭圆T1于点A，B，N为椭圆T1上的任意一点（点N与点A，B不重合），求△ABN面积的最大值．
x
2
m
2
+
y
2
2
=
1
（
m
＞
2
）
y
2
2
+
x
2
=
1
k
OM
k
ON
2
【考点】直线与圆锥曲线的综合；椭圆的几何特征．
【答案】（1）；
（2）是与k无关的定值，理由见解析；
（3）．
x
2
4
+
y
2
2
=
1
（2）
k
OM
k
ON
（3）
2
30
+
4
3
5
【解答】
【点评】
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发布：2024/10/10 13:0:2组卷：57引用：4难度：0.5
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1．点P在以F1，F2为焦点的双曲线
（a＞0，b＞0）上，已知PF1⊥PF2，|PF1|=2|PF2|，O为坐标原点．E：x2a2-y2b2=1
（Ⅰ）求双曲线的离心率e；
（Ⅱ）过点P作直线分别与双曲线渐近线相交于P1，P2两点，且，OP1•OP2=-274，求双曲线E的方程；2PP1+PP2=0
（Ⅲ）若过点Q（m,0）（m为非零常数）的直线l与（2）中双曲线E相交于不同于双曲线顶点的两点M、N，且（λ为非零常数），问在x轴上是否存在定点G，使MQ=λQN？若存在，求出所有这种定点G的坐标；若不存在，请说明理由．F1F2⊥（GM-λGN）发布：2024/12/29 10:0:1组卷：72引用：5难度：0.7 -
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．5
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3．若过点（0，-1）的直线l与抛物线y2=2x有且只有一个交点，则这样的直线有（ ）条．
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