已知椭圆W：x24m+y2m=1的长轴长为4，左、右顶点分别为A，B，经过点P（n,0）的直线与椭圆W相交于不同的两点C，D（不与点A，B重合）．
（Ⅰ）当n=0，且直线CD⊥x轴时，求四边形ACBD的面积；
（Ⅱ）设n=1，直线CB与直线x=4相交于点M，求证：A，D，M三点共线．
x
2
4
m
+
y
2
m
=
1
【考点】直线与椭圆的综合．
【答案】（Ⅰ）4；
（Ⅱ）证明：当直线CD的斜率k不存在时，由题意，得CD的方程为x=1，
代入椭圆W的方程，得，，
易得CB的方程为．
则，，，
所以，即A，D，M三点共线．
当直线CD的斜率k存在时，设CD的方程为y=k（x-1）（k≠0），C（x1，y1），D（x2，y2），
联立方程
消去y，得（4k2+1）x2-8k2x+4k2-4=0．
由题意，得Δ＞0恒成立，故，．
直线CB的方程为．
令x=4，得．
又因为A（-2，0），D（x2，y2），
则直线AD，AM的斜率分别为，，
所以．
上式中的分子 3y2（x1-2）-y1（x2+2）=3k（x2-1）（x1-2）-k（x1-1）（x2+2）=2kx1x2-5k（x1+x2）+8k==0，
所以kAD-kAM=0．
所以A，D，M三点共线．
（Ⅱ）证明：当直线CD的斜率k不存在时，由题意，得CD的方程为x=1，
代入椭圆W的方程，得
C
（
1
，
3
2
）
D
（
1
，-
3
2
）
易得CB的方程为
y
=
-
3
2
（
x
-
2
）
则
M
（
4
，-
3
）
AM
=
（
6
，-
3
）
AD
=
（
3
，-
3
2
）
所以
AM
=
2
AD
当直线CD的斜率k存在时，设CD的方程为y=k（x-1）（k≠0），C（x1，y1），D（x2，y2），
联立方程
y = k （ x - 1 ） ， |
x 2 4 + y 2 = 1 ， |
由题意，得Δ＞0恒成立，故
x
1
+
x
2
=
8
k
2
4
k
2
+
1
x
1
x
2
=
4
k
2
-
4
4
k
2
+
1
直线CB的方程为
y
=
y
1
x
1
-
2
（
x
-
2
）
令x=4，得
M
（
4
，
2
y
1
x
1
-
2
）
又因为A（-2，0），D（x2，y2），
则直线AD，AM的斜率分别为
k
AD
=
y
2
x
2
+
2
k
AM
=
y
1
3
（
x
1
-
2
）
所以
k
AD
-
k
AM
=
y
2
x
2
+
2
-
y
1
3
（
x
1
-
2
）
=
3
y
2
（
x
1
-
2
）
-
y
1
（
x
2
+
2
）
3
（
x
1
-
2
）
（
x
2
+
2
）
上式中的分子 3y2（x1-2）-y1（x2+2）=3k（x2-1）（x1-2）-k（x1-1）（x2+2）=2kx1x2-5k（x1+x2）+8k=
2
k
×
4
k
2
-
4
4
k
2
+
1
-
5
k
×
8
k
2
4
k
2
+
1
+
8
k
所以kAD-kAM=0．
所以A，D，M三点共线．
【解答】
【点评】
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发布：2024/4/20 14:35:0组卷：313引用：4难度：0.5
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