问题提出：将正m边形（m≥3）不断向外扩展，每扩展一个正m边形每条边上的点的个数（以下简称“点数”）就增加一个，则n个正m边形的点数总共有多少个？
问题探究：为了解决上面的问题，我们将采取将一般问题特殊化的策略，先从简单和具体的情形入手：
探究一：n个正三角形的点数总共有多少个？
如图1-1，1个正三角形的点数总共有3个；如图1-2，2个正三角形的点数总共有6个；如图1-3，3个正三角形的点数总共有10个；…；n个正三角形的点数总共有 （n+1）（n+2）2（n+1）（n+2）2个．
探究二：n个正四边形的点数总共有多少个？
如图2-1，1个正四边形的点数总共有4个；如图2-2，2个正四边形的点数总共有9个；
如图2-3，连接AC，得到两个三角形△ABC和△ADC，这两个三角形相同之处在于，BC边与CD边都有相同个数的点，即4个点，并且与BC、CD平行的边上依次减少一个点直至顶点A，每个三角形都有10个点，两个三角形就是2×10个点．因为这两个三角形在AC上有4个点重合，所以3个正四边形的点数总共有2×10-4=16（个）．
如图2-4，4个正四边形的点数总共有 2525个；……n个正四边形的点数总共有 （n+1）2（n+1）2个．
探究三：n个正五边形的点数总共有多少个？
类比探究二的方法，求4个正五边形的点数总共有多少个？并叙述你的探究过程．
n个正五边形的点数总共有 12（n+1）（3n+2）12（n+1）（3n+2）个．
探究四：n个正六边形的点数总共有 （n+1）（2n+1）（n+1）（2n+1）个．
问题解决：n个正m边形的点数总共有 （n+1）[n（m-2）2+1]（n+1）[n（m-2）2+1]个．
实际应用：若99个正m边形的点数总共有39700个，求m的值．
（
n
+
1
）
（
n
+
2
）
2
（
n
+
1
）
（
n
+
2
）
2
1
2
1
2
n
（
m
-
2
）
2
n
（
m
-
2
）
2
【考点】规律型：图形的变化类；平行线的性质．
【答案】；25；（n+1）2；（n+1）（3n+2）；（n+1）（2n+1）；（n+1）[+1]
（
n
+
1
）
（
n
+
2
）
2
1
2
n
（
m
-
2
）
2
【解答】
【点评】
声明：本试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布。
发布：2024/6/27 10:35:59组卷：331引用：3难度：0.3
相似题
-
1．如图，将一条长度为1的线段三等分，然后取走其中的一份，称为第一次操作；再将余下的每一条线段三等分，然后取走其中一份，称为第二次操作；…如此重复操作，当第n次操作结束时，被取走的所有线段长度之和为．
发布：2025/5/25 21:0:1组卷：829引用：45难度：0.7 -
2．如图，将大小相同的小圆规律摆放：第1个图形有5个小圆，第2个图形有8个小圆，第3个图形有11个小圆，…依此规律，第n个图形的小圆个数是 个．
发布：2025/5/25 17:30:1组卷：65引用：2难度：0.5 -
3．如图是一组有规律的图案，它们是由边长相同的小正方形组成，其中部分小正方形涂有阴影，依此规律，第10个图案中涂有阴影的小正方形的个数为（ ）
发布：2025/5/25 19:30:2组卷：652引用：4难度：0.6
