如图，抛物线 y=-x2+3x+4 与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，连接AC，BC．点E为线段BC上的一点，直线AE与抛物线交于点H．
（1）直接写出A，B，C三点的坐标，并求出直线BC的表达式；
（2）连接HB，HC，求△HBC面积的最大值；
（3）若点P为抛物线上一动点，试判断在平面内是否存在一点Q，使得以B，C，P，Q为顶点的四边形是以BC为边的矩形？若存在，请直接写出点Q的坐标，若不存在，请说明理由．
【考点】二次函数综合题．
【答案】（1）A的坐标为（-1，0），B的坐标为（4，0），C的坐标为（0，4）；直线BC的表达式为y=-x+4；
（2）△HBC面积的最大值为8；
（3）在平面内存在一点Q，使得以B，C，P，Q为顶点的四边形是以BC为边的矩形，Q的坐标为（-6，-2）或（6，2）．
（2）△HBC面积的最大值为8；
（3）在平面内存在一点Q，使得以B，C，P，Q为顶点的四边形是以BC为边的矩形，Q的坐标为（-6，-2）或（6，2）．
【解答】
【点评】
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发布：2025/5/23 7:0:1组卷：475引用：4难度：0.1
相似题
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1．如图，已知二次函数的图象过点A（0，-3），B（，3），对称轴为直线x=-3，点P是抛物线上的一动点，过点P分别作PM⊥x轴于点M，PN⊥y轴于点N，在四边形PMON上分别截取PC=12MP，MD=13OM，OE=13ON，NF=13NP．13
（1）求此二次函数的解析式；
（2）求证：以C、D、E、F为顶点的四边形CDEF是平行四边形；
（3）在抛物线上是否存在这样的点P，使四边形CDEF为矩形？若存在，请求出所有符合条件的P点坐标；若不存在，请说明理由．发布：2025/6/18 22:0:2组卷：835引用：53难度：0.5 -
2．如图，二次函数y=
x2+bx-12的图象与x轴交于点A（-3，0）和点B，以AB为边在x轴上方作正方形ABCD，点P是x轴上一动点，连接DP，过点P作DP的垂线与y轴交于点E．32
（1）请直接写出点D的坐标：；
（2）当点P在线段AO（点P不与A、O重合）上运动至何处时，线段OE的长有最大值，求出这个最大值；
（3）是否存在这样的点P，使△PED是等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标及此时△PED与正方形ABCD重叠部分的面积；若不存在，请说明理由．
发布：2025/6/18 22:0:2组卷：2995引用：69难度：0.1 -
3．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=（x-m）2-14m2+m的顶点为A，与y轴的交点为B，连接AB，AC⊥AB，交y轴于点C，延长CA到点D，使AD=AC，连接BD．作AE∥x轴，DE∥y轴．14
（1）当m=2时，求点B的坐标；
（2）求DE的长？
（3）①设点D的坐标为（x,y），求y关于x的函数关系式？②过点D作AB的平行线，与第（3）①题确定的函数图象的另一个交点为P，当m为何值时，以A，B，D，P为顶点的四边形是平行四边形？发布：2025/6/18 22:0:2组卷：1638引用：57难度：0.1
