[问题情境]
（1）王老师给爱好学习的小明和小颖提出这样一个问题：如图①，在△ABC中，AB=AC，P为边BC上的任一点，过点P作PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分别为D，E，过点C作CF⊥AB，垂足为F．求证：PD+PE=CF．
小明的证明思路是：
如图②，连接AP，由△ABP与△ACP面积之和等于△ABC的面积可以证得：PD+PE=CF．
小颖的证明思路是：
如图②，过点P作PG⊥CF，垂足为G，可以证得：PD=GF，PE=CG，则PD+PE=CF．
请你选择小明、小颖两种证明思路中的任意一种，写出详细的证明过程．
[变式探究]（2）如图③，当点P在BC延长线上时，问题情境中，其余条件不变，求证：PD-PE=CF．
[结论运用]（3）如图④，将矩形ABCD沿EF折叠，使点D落在点B上，点C落在点C'处，点P为折痕EF上的任一点，过点P作PG⊥BE，PH⊥BG，垂足分别为G，H，若AD=8，CF=3，求PG+PH的值．
[迁移拓展]（4）图⑤是一个机器模型的截面示意图，在四边形ABCD中，E为AB边上的一点，ED⊥AD，EC⊥CB，垂足分别为D，C，且AD•CE=DE•BC，AB=213cm,AD=3cm,BD=37cm,MN分别为AE，BE的中点，连接DM，CN，请直接写出△DEM与△CEN的周长之和．
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【考点】相似形综合题．
【答案】（1）证明见解析部分；
（2）证明见解析部分；
（3）4；
（4）（6+2）dm．
（2）证明见解析部分；
（3）4；
（4）（6+2
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【解答】
【点评】
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发布：2025/5/24 0:30:1组卷：279引用：1难度：0.1
相似题
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1．【感知】
小明同学复习“相似三角形”的时候遇到了这样的一道题目：
小明同学分析后发现，∠ADC是△ABD的外角，可得∠ADE+∠EDC=∠BAD+∠B，再结合已知条件可以得到△ABD∽△DCE．请根据小明的分析，结合图①，写出完整的证明过程．如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC上一点，过点D作∠ADE=∠B，交AC于点E．求证：△ABD∽△DCE．
【探究】
在△ABC中，AB=AC=10，BC=16，D为BC上一点．
（1）如图②，过点D作∠ADE=∠B，交AC于点E．当DE∥AB时，AD的长为 ．
（2）如图③，过点D作∠FDE=∠B，分别交AB、AC于点F、E．当CD=4时，BF的长的取值范围为 ．
发布：2025/6/14 15:30:1组卷：349引用：5难度：0.3 -
2．如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=8cm,动点P从点C出发沿着C-B-A的方向以2cm/s的速度向终点A运动，另一动点Q同时从点A出发沿着AC方向以1cm/s的速度向终点C运动，P、Q两点同时到达各自的终点，设运动时间为t（s）．△APQ的面积为S cm2．
（1）求BC的长；
（2）求S与t的函数关系式，并写出t的取值范围；
（3）当t为多少秒时，以P、C、Q为顶点的三角形和△ABC相似？发布：2025/6/14 19:0:1组卷：227引用：5难度：0.4 -
3．在四边形ABCD中，∠EAF=
∠BAD（E、F分别为边BC、CD上的动点），AF的延长线交BC延长线于点M，AE的延长线交DC延长线于点N．12
（1）如图①，若四边形ABCD是正方形，求证：△ACN∽△MCA；
（2）如图②，若四边形ABCD是菱形．
①（1）中的结论是否依然成立？请说明理由；
②若AB=8，AC=4，连接MN，当MN=MA时，求CE的长．
发布：2025/6/14 19:0:1组卷：1406引用：3难度：0.1
