如图1,在直角三角形ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,M为AB中点,∠EMF=45°,且∠EMF两边分别于AC,BC的延长线交于点E、点F.

(1)若AE=BF,求证:ME=MF;
(2)如图2,将∠EMF绕点M旋转,∠EMF两边分别于AC,BC交于点G、点H.
①求证:△FCM∽△MCE,
②若MC=2,CF=2,求MH的长.
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【考点】相似形综合题.
【答案】(1)证明见解答过程;(2)①证明见解答过程;②MH=.
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【解答】
【点评】
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发布:2024/6/27 10:35:59组卷:179引用:4难度:0.3
相似题
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1.在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,在Rt△ADE中,∠DAE=90°,2AD=AB,2AE=AC,连接DE,AN⊥BC,垂足为N,AM⊥DE,垂足为M.
(1)观察猜想
图①中,点D,E分别在AB,AC上时,的值为 ;BDCE的值为 .BDMN
(2)探究证明
如图②,将△ADE绕点A顺时针旋转,旋转角为α(0°<α<360°),连接BD,CE,判断问题(1)中的数量关系是否仍然存在,并证明;
(3)拓展延伸
在△ADE旋转的过程中,设直线CE与BD相交于点F,若∠CAE=90°,AB=6,请直接写出线段BF的长.发布:2025/5/23 17:0:1组卷:518引用:1难度:0.1 -
2.如图,△ABC中,∠B=90°,AB=BC,D为边BC上一动点(不与B、C重合),CD和AD的垂直平分线交于点E,连接AD、AE、DE和CE,ED与AC相交于点F,设∠CAE=a.
(1)请用含a的代数式表示∠CED的度数;
(2)求证:△ABC∽△AED;
(3)若a=30°,求EF:BD的值.发布:2025/5/23 14:0:1组卷:77引用:1难度:0.1 -
3.问题提出
(1)如图①,在△ABC中,点D、E、F分别为边AB、AC、BC的中点,DE∥BC,BC=8,AF交DE于点G,则DG的长为 ;
问题探究
(2)如图②,在等腰直角△ABC中,∠C=90°,AC=4,点D为线段CB上一动点(点D不与点B、C重合),以AD为腰且在AD的右侧作等腰直角△ADF,∠ADF=90°,AB与FD交于点E,连接BF,求证:△ACD∽△ABF;
问题解决
(3)如图是郊外一空地,为了美化生态环境,现要将这块地打造成一个公园,在空地一侧挖一个四边形的人工湖CDQP,点P、Q分别在边AB、AD上,且满足PB=AQ,已知AB=AD,∠ACB=∠BAD=90°,AB=500m,BC=300m,为了满足湖周边的建设用地需要,人工湖的面积需尽可能小,设PB的长为x(m),四边形CDQP的面积为S(m2).
①求S与x之间的函数关系式;
②求人工湖面积的最小值及此时AQ的长.发布:2025/5/23 16:0:1组卷:259引用:1难度:0.3