已知以坐标原点O为圆心的圆与抛物线C：y2=2px（p＞0）相交于不同的两点A、B，与抛物线C的准线相交于不同的两点D、E，且|AB|=|DE|=4．
（Ⅰ）求抛物线C的方程；
（Ⅱ）若不经过坐标原点O的直线l与抛物线C相交于不同的两点M、N，且满足OM⊥ON，证明直线l过定点Q，并求出点Q的坐标．
OM
ON
【考点】直线与抛物线的综合．
【答案】（Ⅰ）y2=4x；
（Ⅱ）证明：由题意，直线l不与y轴垂直，设直线l的方程为x=my+n，（n≠0），
M（x1，y1），N（x2，y2），
联立
，消去x，可得y2-4my-4n=0．
∴Δ=16m2+16n＞0，
y1+y2=4m，y1y2=-4n．
又，，∴．
∵⊥，
∴，
解得n=0（舍）或n=4．
当n=4时，Δ=16m2+64＞0．
故直线l的方程为x=my+4，
∴直线l过定点Q（4，0）．
（Ⅱ）证明：由题意，直线l不与y轴垂直，设直线l的方程为x=my+n，（n≠0），
M（x1，y1），N（x2，y2），
联立
x = my + n |
y 2 = 4 x |
∴Δ=16m2+16n＞0，
y1+y2=4m，y1y2=-4n．
又
y
1
2
=
4
x
1
y
2
2
=
4
x
2
x
1
x
2
=
y
1
2
y
2
2
16
∵
OM
ON
∴
x
1
x
2
+
y
1
y
2
=
y
1
2
y
2
2
16
+
y
1
y
2
=
n
2
-
4
n
=
0
解得n=0（舍）或n=4．
当n=4时，Δ=16m2+64＞0．
故直线l的方程为x=my+4，
∴直线l过定点Q（4，0）．
【解答】
【点评】
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发布：2024/6/27 10:35:59组卷：138引用：6难度：0.4
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