如图，二次函数y=ax2+bx+c与直线y=12x+1相交于A、B两点，A点在y轴上，当x=6时，二次函数有最大值，最大值为10，点C是二次函数图象上一点（点C在AB上方）．过C作CD⊥x轴，垂足为点D，交AB于点E，过点B作BF⊥x轴，垂足为点F．
（1）求二次函数的表达式；
（2）S△ABC是否有最大值？如有，请求出此时点C的坐标及S△ABC的最大值；
（3）当点C在何位置时，线段BE与线段CF互相平分？请求出点C的坐标．
y
=
1
2
x
+
1
【考点】二次函数综合题．
【答案】（1）y=-x2+3x+1；
（2）S△ABC有最大值，此时点C的坐标为（5，），S△ABC的最大值为；
（3）C的坐标为（4，9）或（6，10）．
1
4
（2）S△ABC有最大值，此时点C的坐标为（5，
39
4
125
4
（3）C的坐标为（4，9）或（6，10）．
【解答】
【点评】
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发布：2024/6/27 10:35:59组卷：66引用：1难度：0.3
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1．在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+3与x轴的两个交点分别为A（-3，0）、B（1，0），过顶点C作CH⊥x轴于点H．
（1）直接填写：a=，b=，顶点C的坐标为；
（2）在y轴上是否存在点D，使得△ACD是以AC为斜边的直角三角形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，说明理由．发布：2025/6/17 23:30:2组卷：163引用：1难度：0.4 -
2．如图，抛物线y=ax2-3ax+b与直线AB交于A（-2，
）、B（4，0）两点，点C是此抛物线上的一个动点，过点C作CD⊥x轴，交直线AB于点D．32
（1）求此抛物线的解析式；
（2）如图①，当点C在直线AB下方的抛物线上运动时，请求出线段CD长度的最大值；
（3）如图②，以D为圆心，CD的长为半径作⊙D．当⊙D与x轴相切时，请直接写出点C的横坐标．
发布：2025/6/17 22:30:1组卷：63引用：1难度：0.2 -
3．如图，抛物线y=（x+2）（x-8）与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，顶点为M，以AB为直径作⊙D．下列结论：①抛物线的对称轴是直线x=3；②⊙D的面积为16π；③抛物线上存在点E，使四边形ACED为平行四边形；④直线CM与⊙D相切．其中正确结论的个数是（ ）14发布：2025/6/17 18:30:1组卷：2558引用：19难度：0.7
