已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，左顶点为A（-2，0），且离心率为22．
（1）求C的方程；
（2）直线y=kx（k≠0）交C于E，F两点，直线AE，AF分别与y轴交于点M，N，求证：M，F1，N，F2四点共圆．
C
：
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=
1
（
a
＞
b
＞
0
）
A
（
-
2
，
0
）
2
2
【考点】直线与椭圆的综合．
【答案】（1）+y2=1；
（2）证明：设点E（x0，y0）（不妨设x0＞0），则点F（-x0，-y0），
由
，整理可得：x2=，
所以x0=，y0=，
所以直线AE的方程为y=（x+），
因为直线AE与y轴交于点M，令x=0得y=，
即M（0，），同理可得点N（0，），
所以=（1，），=（1，），
所以•=（1，）•（1，）=1+=0，
所以F1M⊥F1N，同理F2M⊥F2N，
则以MN为直径的圆恒过焦点F1，F2，即M，F1，N，F2四点共圆．
综上所述，可证得M，F1，N，F2四点共圆．
x
2
2
（2）证明：设点E（x0，y0）（不妨设x0＞0），则点F（-x0，-y0），
由
y = kx |
x 2 2 + y 2 = 1 |
2
1
+
2
k
2
所以x0=
2
1
+
2
k
2
2
k
1
+
2
k
2
所以直线AE的方程为y=
k
1
+
1
+
2
k
2
2
因为直线AE与y轴交于点M，令x=0得y=
2
k
1
+
1
+
2
k
2
即M（0，
2
k
1
+
1
+
2
k
2
2
k
1
-
1
+
2
k
2
所以
F
1
M
2
k
1
+
1
+
2
k
2
F
1
N
2
k
1
-
1
+
2
k
2
所以
F
1
M
F
1
N
2
k
1
+
1
+
2
k
2
2
k
1
-
1
+
2
k
2
2
k
2
1
-
（
1
+
2
k
2
）
所以F1M⊥F1N，同理F2M⊥F2N，
则以MN为直径的圆恒过焦点F1，F2，即M，F1，N，F2四点共圆．
综上所述，可证得M，F1，N，F2四点共圆．
【解答】
【点评】
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发布：2024/6/27 10:35:59组卷：77引用：4难度：0.5
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