已知椭圆 C：

x

2

a

2

+

y

2

b

2

=1（a＞b＞0）经过点（1，

3

2

），离心率为

3

2

，点A为椭圆C的右顶点，直线l与椭圆相交于不同于点A的两个点P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）当

AP

•

AQ

=0时，求△OPQ面积的最大值；
（Ⅲ）若x₁y₂-x₂y₁≥2，求证：|OP|²+|OQ|²为定值．

【考点】圆锥曲线的综合；椭圆的标准方程．

【答案】（I）+y²=1；
（II）；
（III）证明：设P（2cosα，sinα），Q（2cosβ，sinβ），
由x₁y₂-x₂y₁≥2，即2cosαsinβ-2cosβsinα=2sin（β-α）≥2，
但2sin（β-α）≤2，可得sin（β-α）=1，即为β-α=2kπ+，k∈Z，
即β=2kπ+α+，k∈Z，
可得cos²α=sin²β，cos²β=sin²α，
则|OP|²+|OQ|²=+=4cos²α+sin²α+4cos²β+sin²β
=4cos²α+sin²α+4sin²α+cos²α=5（cos²α+sin²α）=5为定值．