已知圆E：（x+3）2+y2=16，点F（3，0），P是圆E上任意一点，线段PF的垂直平分线和半径PE相交于Q．
（Ⅰ）求动点Q的轨迹Γ的方程；
（Ⅱ）直线l过点（1，1），且与轨迹Γ交于A，B两点，点M满足AM=MB，点O为坐标原点，延长线段OM与轨迹Γ交于点R，四边形OARB能否为平行四边形？若能，求出此时直线l的方程，若不能，说明理由．
3
3
AM
MB
【考点】直线和圆的方程的应用．
【答案】（I）轨迹方程为：+y2=1；
（II）能，理由：
（1）当直线l与x轴垂直时，直线l的方程为x=1，显然四边形OARB是平行四边形；
（2）当直线l与x轴不垂直时，设直线l：y=kx+m，显然k≠0，m≠0，
设A（x1，y1），B（x2，y2），M（xM，yM）．
联立方程组
，得（4k2+1）x2+8kmx+4m2-4=0，
∴x1+x2=-，
∵=，即M是AB的中点，
∴xM==-，yM=kxM+m=，
若四边形OARB是平行四边形，当且仅当AB，OR互相平分，
∴R（-，），
代入椭圆方程得：+=1，即16k2m2+4m2=16k4+8k2+1，
又直线l：y=kx+m经过点（1，1），∴m=1-k，
∴16k2（1-k）2+4（1-k）2=16k4+8k2+1，
∴32k3-12k2+8k-3=0，即（4k2+1）（8k-3）=0．
∴k=，m=，
∴直线l的方程为y=x+时，四边形OARB是平行四边形，
综上，直线l的方程为x=1或y=x+．
x
2
4
（II）能，理由：
（1）当直线l与x轴垂直时，直线l的方程为x=1，显然四边形OARB是平行四边形；
（2）当直线l与x轴不垂直时，设直线l：y=kx+m，显然k≠0，m≠0，
设A（x1，y1），B（x2，y2），M（xM，yM）．
联立方程组
y = kx + m |
x 2 4 + y 2 = 1 |
∴x1+x2=-
8
km
1
+
4
k
2
∵
AM
MB
∴xM=
x
1
+
x
2
2
4
km
1
+
4
k
2
m
1
+
4
k
2
若四边形OARB是平行四边形，当且仅当AB，OR互相平分，
∴R（-
8
km
1
+
4
k
2
2
m
1
+
4
k
2
代入椭圆方程得：
16
k
2
m
2
（
1
+
4
k
2
）
2
4
m
2
（
1
+
4
k
2
）
2
又直线l：y=kx+m经过点（1，1），∴m=1-k，
∴16k2（1-k）2+4（1-k）2=16k4+8k2+1，
∴32k3-12k2+8k-3=0，即（4k2+1）（8k-3）=0．
∴k=
3
8
5
8
∴直线l的方程为y=
3
8
5
8
综上，直线l的方程为x=1或y=
3
8
5
8
【解答】
【点评】
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