【问题背景】已知D、E分别是△ABC的AB边和AC边上的点，且DE∥BC，则△ABC∽△ADE，把△ADE绕着A逆时针方向旋转，连接BD和CE．
①如图2，找出图中的另外一组相似三角形 △BAD∽△CAE△BAD∽△CAE；
②若AB=4，AC=3，BD=2，则CE=3232；
【迁移应用】在Rt△ACB中，∠BAC=90°，∠C=60°，D、E，M分别是AB、AC、BC中点，连接DE和CM．
①如图3，写出CE和BD的数量关系 BD=3ECBD=3EC；
②如图4，把Rt△ADE绕着点A逆时针方向旋转，当D落在AM上时，连接CD和CE，取CD中点N，连接MN，若CE=23，求MN的长．
【创新应用】如图5：AB=AC=AE=25，BC=4，△ADE是直角三角形，∠DAE=90°，tan∠ADE=2，将△ADE绕着点A旋转，连接BE，F是BE上一点，BFBE=25，连接CF，请直接写出CF的取值范围．
3
2
3
2
3
3
CE
=
2
3
AB
=
AC
=
AE
=
2
5
BF
BE
=
2
5
【考点】相似形综合题．
【答案】△BAD∽△CAE；；BD=EC
3
2
3
【解答】
【点评】
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发布：2024/6/30 8:0:9组卷：982引用：2难度：0.1
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1．在矩形ABCD中，AD=3，CD=4，点E在边CD上，且DE=1．
感知：如图①，连接AE，过点E作EF⊥AE，交BC于点F，连接AF，易证：△ADE≌△ECF（不需要证明）；
探究：如图②，点P在矩形ABCD的边AD上（点P不与点A、D重合），连接PE，过点E作EF⊥PE，交BC于点F，连接PF．求证：△PDE∽△ECF；
应用：如图③，若EF交AB边于点F，其他条件不变，且△PEF的面积是3，则AP的长为．发布：2025/6/16 19:30:1组卷：681引用：3难度：0.1 -
2．数学课上，王老师出示问题：如图1，将边长为5的正方形纸片ABCD折叠，使顶点A落在边CD上的点P处（点P与C、D不重合），折痕为EF，折叠后AB边落在PQ的位置，PQ与BC交于点G．
（1）观察操作结果，在图1中找到一个与△DEP相似的三角形，并证明你的结论；
（2）当点P在边CD的什么位置时，△DEP与△CPG面积的比是9：25？请写出求解过程；
（3）将正方形换成正三角形，如图2，将边长为5的正三角形纸片ABC折叠，使顶点A落在边BC上的点P处（点P与B、C不重合），折痕为EF，当点P在边BC的什么位置时，△BEP与△CPF面积的比是9：25？请写出求解过程．
发布：2025/6/15 22:0:1组卷：1072引用：9难度：0.2 -
3．如图，AD、BE是△ABC的两条高，过点D作DF⊥AB，垂足为F，FD交BE于M，FD、AC的延长线交于点N．
（1）求证：△BFM∽△NFA；
（2）试探究线段FM、DF、FN之间的数量关系，并证明你的结论；
（3）若AC=BC，DN=12，ME：EN=1：2，求线段AC的长．发布：2025/6/16 11:30:2组卷：851引用：7难度：0.3
