设y=f（x）、y=g（x）是定义域为R的函数，当g（x1）≠g（x2）时，
记δ（x1，x2）=f（x1）-f（x2）g（x1）-g（x2）．
（1）已知y=g（x）在区间I上严格增，且对任意x1，x2∈I，x1≠x2，有δ（x1，x2）＞0，
证明：函数y=f（x）在区间I上严格增；
（2）已知g（x）=13x3+ax2-3x，且对任意x1，x2∈R，当g（x1）≠g（x2）时，有δ（x1，x2）＞0，若当x=1时，函数y=f（x）取得极值，求实数a的值；
（3）已知g（x）=sinx,f（π2）=1，f（-π2）=-1，且对任意x1，x2∈R，当g（x1）≠g（x2）时，有|δ（x1，x2）|≤1，证明：f（x）=sinx.
δ
（
x
1
，
x
2
）
=
f
（
x
1
）
-
f
（
x
2
）
g
（
x
1
）
-
g
（
x
2
）
g
（
x
）
=
1
3
x
3
+
a
x
2
-
3
x
f
（
π
2
）
=
1
f
（
-
π
2
）
=
-
1
【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．
【答案】（1）证明详情见解答．
（2）a=1．
（3）证明详情见解答．
（2）a=1．
（3）证明详情见解答．
【解答】
【点评】
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