已知双曲线C：x2a2-y2b2=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，点P（3，1）在C上，且|PF1|•|PF2|=10．
（1）求C的方程；
（2）斜率为-3的直线l与C交于A，B两点，点B关于原点的对称点为D．若直线PA，PD的斜率存在且分别为k1，k2，证明：k1•k2为定值．
x
2
a
2
-
y
2
b
2
【答案】（1）-=1；
（2）证明：设A（x1，y1），B（x2，y2），则D（-x2，-y2），
设直线l的方程为y=-3x+m，与双曲线的方程联立，消去y，可得，8x2-6mx+m2+8=0，
由Δ=（-6m）2-32（m2+8）＞0，可得|m|＞8，x1+x2=，x1x2=，
所以y1y2=（-3x1+m）（-3x2+m）
=9x1x2-3m（x1+x2）+m2=9•-3m•+m2=9-，
所以k1k2=•===-1，
所以k1•k2为定值-1．
x
2
8
y
2
8
（2）证明：设A（x1，y1），B（x2，y2），则D（-x2，-y2），
设直线l的方程为y=-3x+m，与双曲线的方程联立，消去y，可得，8x2-6mx+m2+8=0，
由Δ=（-6m）2-32（m2+8）＞0，可得|m|＞8，x1+x2=
3
m
4
m
2
+
8
8
所以y1y2=（-3x1+m）（-3x2+m）
=9x1x2-3m（x1+x2）+m2=9•
m
2
+
8
8
3
m
4
m
2
8
所以k1k2=
y
1
-
1
x
1
-
3
-
y
2
-
1
-
x
2
-
3
y
1
y
2
+
y
1
-
y
2
-
1
x
1
x
2
+
3
x
1
-
3
x
2
-
9
8
-
m
2
8
-
3
（
x
1
-
x
2
）
m
2
8
-
8
+
3
（
x
1
-
x
2
）
所以k1•k2为定值-1．
【解答】
【点评】
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发布：2024/4/20 14:35:0组卷：564引用：5难度：0.5
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