爱动脑筋的小明同学在学习完角平分线的性质一节后意犹未尽，经过思考发现里面还有一个有趣的结论：
（1）【问题发现】如图1所示，若AD是∠BAC的角平分线，可得到结论：ABAC=BDDC．
小明的解法如下：
过点D作DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，过点A作AG⊥BC于点G，
∵AD是∠BAC的角平分线，且DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE=DFDE=DF，
S△ABDS△ADC=12AB×DE12AC×DF=ABAC，
∵S△ABDS△ADC=12BD×AG12CD×AG=BDCD，
∴ABAC=BDDC．
（2）【类比探究】如图2所示，若AD是∠BAC的外角平分线，AD与BC的延长线交于点D．求证：ABAC=BDDC；
（3）【直接应用】如图3所示，Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于D，若BD=10，CD=6，在不添加辅助线的情况下直接写出AB=2020．
（4）【拓展应用】如图4所示，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=6，BC=8，将△ABC先沿∠BAC的平分线AD折叠，B点刚好落在AC上的E点，剪掉重叠部分（即四边形ABDE），再将余下部分（△CDE）沿∠DEC的平分线EF折叠，再剪掉重叠部分（即四边形DEGF），求出剩余部分△FCG的面积．
AB
AC
=
BD
DC
S
△
ABD
S
△
ADC
=
1
2
AB
×
DE
1
2
AC
×
DF
=
AB
AC
S
△
ABD
S
△
ADC
=
1
2
BD
×
AG
1
2
CD
×
AG
=
BD
CD
AB
AC
=
BD
DC
AB
AC
=
BD
DC
【考点】相似形综合题．
【答案】DE=DF；20
【解答】
【点评】
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发布：2024/6/27 10:35:59组卷：539引用：5难度：0.4
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1．数学课上，王老师出示问题：如图1，将边长为5的正方形纸片ABCD折叠，使顶点A落在边CD上的点P处（点P与C、D不重合），折痕为EF，折叠后AB边落在PQ的位置，PQ与BC交于点G．
（1）观察操作结果，在图1中找到一个与△DEP相似的三角形，并证明你的结论；
（2）当点P在边CD的什么位置时，△DEP与△CPG面积的比是9：25？请写出求解过程；
（3）将正方形换成正三角形，如图2，将边长为5的正三角形纸片ABC折叠，使顶点A落在边BC上的点P处（点P与B、C不重合），折痕为EF，当点P在边BC的什么位置时，△BEP与△CPF面积的比是9：25？请写出求解过程．
发布：2025/6/15 22:0:1组卷：1072引用：9难度：0.2 -
2．在矩形ABCD中，AD=3，CD=4，点E在边CD上，且DE=1．
感知：如图①，连接AE，过点E作EF⊥AE，交BC于点F，连接AF，易证：△ADE≌△ECF（不需要证明）；
探究：如图②，点P在矩形ABCD的边AD上（点P不与点A、D重合），连接PE，过点E作EF⊥PE，交BC于点F，连接PF．求证：△PDE∽△ECF；
应用：如图③，若EF交AB边于点F，其他条件不变，且△PEF的面积是3，则AP的长为．发布：2025/6/16 19:30:1组卷：681引用：3难度：0.1 -
3．如图，AD、BE是△ABC的两条高，过点D作DF⊥AB，垂足为F，FD交BE于M，FD、AC的延长线交于点N．
（1）求证：△BFM∽△NFA；
（2）试探究线段FM、DF、FN之间的数量关系，并证明你的结论；
（3）若AC=BC，DN=12，ME：EN=1：2，求线段AC的长．发布：2025/6/16 11:30:2组卷：851引用：7难度：0.3
