设复平面上点对应的复数z=x+yi（x∈R，y∈R）（i为虚数单位）满足|z+2|+|z-2|=6，点Z的轨迹方程为曲线C1．双曲线C2：x2-y2n=1与曲线C1有共同焦点，倾斜角为π4的直线l与双曲线C2的两条渐近线的交点是A、B，OA•OB=2，O为坐标原点．
（1）求点Z的轨迹方程C1；
（2）求直线l的方程；
（3）设△PQR三个顶点在曲线C1上，求证：当O是△PQR重心时，△PQR的面积是定值．
-
y
2
n
=
1
π
4
OA
•
OB
【考点】轨迹方程．
【答案】（1）=1．
（2）y=x．
（3）证明：
设P（3cosθ1），Q（3cosθ2，），R（3cos），
θ1，θ2，θ3∈[0，2π），
∵O为△PQR的重心，
∴
，
∴cos（θ1-θ2）=-，
cos（θ2-θ3）=-，
cos（θ3-θ1）=-，
∴S△PQR=3S△OPQ=3|
|=|3sin（θ2-θ1）|=，
∴当O是△PQR重心时，△PQR的面积是定值．
x
2
9
+
y
2
5
（2）y=x
±
2
（3）证明：
设P（3cosθ1
5
sin
θ
1
5
sin
θ
2
θ
3
，
5
sin
θ
3
θ1，θ2，θ3∈[0，2π），
∵O为△PQR的重心，
∴
cos θ 1 + cos θ 2 + cos θ 3 = 0 |
sin θ 1 + sin θ 2 + sin θ 3 = 0 |
∴cos（θ1-θ2）=-
1
2
cos（θ2-θ3）=-
1
2
cos（θ3-θ1）=-
1
2
∴S△PQR=3S△OPQ=3|
1
2
3 cos θ 1 | 5 sin θ 1 | 1 |
3 cos θ 2 | 5 sin θ 2 | 1 |
0 | 0 | 1 |
3
2
3
5
9
15
4
∴当O是△PQR重心时，△PQR的面积是定值
9
15
4
【解答】
【点评】
声明：本试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布。
发布：2024/4/20 14:35:0组卷：219引用：2难度：0.3
相似题
-
1．点P为△ABC所在平面内的动点，满足
=t（AP），t∈（0，+∞），则点P的轨迹通过△ABC的（ ）AB|AB|cosB+AC|AC|cosC发布：2024/12/29 6:30:1组卷：106引用：3难度：0.7 -
2．已知两个定点A（-2，0），B（1，0），如果动点P满足|PA|=2|PB|．
（1）求点P的轨迹方程并说明该轨迹是什么图形；
（2）若直线l：y=kx+1分别与点P的轨迹和圆（x+2）2+（y-4）2=4都有公共点，求实数k的取值范围．发布：2024/12/29 10:30:1组卷：42引用：3难度：0.5 -
3．已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD为正方形，PD⊥底面ABCD，且PD=AD=4，点E为BC的中点．四棱锥P-ABCD的所有顶点都在同一个球面上，点M是该球面上的一动点，且PM⊥AE，则点M的轨迹的长度为（ ）
发布：2024/12/29 8:0:12组卷：14引用：1难度：0.6
