如图，边长为4的正方形OABC的两边在坐标轴上，以点C为顶点的抛物线经过点A，点P是抛物线上在点A、C之间的一个动点，过点P作PE⊥OA于点E，点Q的坐标为（0，3），连接PQ．
（1）求抛物线的解析式；
（2）①当PQ∥EQ时，PQ+PE=55；
②某班数学科代表经过一番探究后发现：对于A、C间的任意一点P，PQ与PE之和为定值，你是否同意他的观点？请说明理由；
（3）延长EP交BC于点F，当∠FPQ为锐角，且cos∠FPQ=12时，求点P的坐标．
cos
∠
FPQ
=
1
2
【考点】二次函数综合题．
【答案】5
【解答】
【点评】
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发布：2024/4/28 8:51:19组卷：63引用：1难度：0.3
相似题
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1．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y0=x2+bx+c与x轴交于点A（-2，0），点B（6，0），与y轴交于点C．
（1）求抛物线y0的表达式及点C的坐标；
（2）若点D0是抛物线y0上一动点，连接CD0，点D0在抛物线y0上运动时；
①取CD0的中点D1，当点D0与点A重合时，D1的坐标为 ；当点D0与点B重合时，D1的坐标为 ；请在图2的网格中画出点D1的运动轨迹，并猜想点D1的运动轨迹是什么图形：；并求点D1运动轨迹的函数y1的解析式；
②在线段CD1上取中点D2，点D2运动轨迹的函数的解析式为y2，在线段CD2上取中点D3，点D3的运动轨迹的函数的解析式为y3，……，在线段CDn-1上取中点Dn，点Dn的运动轨迹的函数的解析式为yn（n为正整数）；请求出函数yn的解析式（用含n的式子表示）．
③若直线y=x+m与系列函数y0，y1，y2，……，yn的图象共只有4个交点，求m的取值范围．
发布：2025/5/25 8:30:2组卷：174引用：3难度：0.2 -
2．在直角坐标系中，点A（1，m）和点B（3，n）在二次函数y=ax2+bx+1（a≠0）的图象上．
（1）若m=1，n=4，求二次函数的表达式及图象的对称轴．
（2）若，试说明二次函数的图象与x轴必有交点．m-n=12
（3）若点C（x0，y0）是二次函数图象上的任意一点，且满足y0≤m,求mn的取值范围．发布：2025/5/25 9:0:1组卷：1369引用：2难度：0.4 -
3．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线
x2+bx+c与x轴交于点A（-1，0），B（3，0），与y轴交于点C，连接BC．y=12
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）点D（m,0）为线段OB上一动点（不与O，B重合），过点D作平行于y轴的直线交BC于点M，交抛物线于点N，是否存在点D使点M为线段DN的三等分点，若存在求出点D坐标，若不存在请说明理由；
（3）过点O作直线l∥BC，点P，Q为第一象限内的点，且Q在直线l上，P为l上方抛物线上的点，是否存在这样的点P，Q，使△PQB∽△COB，若存在直接写出P，Q坐标，若不存在请说明理由．
发布：2025/5/25 9:0:1组卷：561引用：2难度：0.2
