如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=23x2+43x-2与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．
（1）求线段AC的长度；
（2）点P为直线AC下方抛物线上的一动点，且点P在抛物线对称轴左侧，过点P作PD∥y轴，交AC于点D，作PE∥x轴，交抛物线于点E．求3PD+PE的最大值及此时点P的坐标；
（3）在（2）中3PD+PE取得最大值的条件下，将该抛物线沿着射线CA方向平移13个单位长度，得到一条新抛物线y′，M为射线CA上的动点，过点M作MF∥x轴交新抛物线y′的对称轴于点F，点N为直角坐标系内一点，请直接写出所有使得以点P，F，M，N为顶点的四边形是菱形的点N的坐标，并写出求解点N的坐标的其中一种情况的过程．
y
=
2
3
x
2
+
4
3
x
-
2
13
【考点】二次函数综合题．
【答案】（1）线段AC的长度为；
（2）3PD+PE取最大值6，P的坐标为（-2，-2）；
（3）N的坐标为（，-2）或（-6，）或（，-2）或（，-2）．
13
（2）3PD+PE取最大值6，P的坐标为（-2，-2）；
（3）N的坐标为（
-
21
+
3
21
2
10
3
-
26
+
6
21
5
-
26
-
6
21
5
【解答】
【点评】
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发布：2024/7/28 8:0:9组卷：810引用：5难度：0.1
相似题
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1．对于二次函数给出如下定义：在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=ax2+bx+c（a,b,c为常数，且a≠0）的图象顶点为P（不与坐标原点重合），以OP为边构造正方形OPMN，则称正方形OPMN为二次函数y=ax2+bx+c的关联正方形，称二次函数y=ax2+bx+c为正方形OPMN的关联二次函数．若关联正方形的顶点落在二次函数图象上，则称此点为伴随点．
（1）如图，直接写出二次函数y=（x+1）2-2的关联正方形OPMN顶点N的坐标，并验证点N是否为伴随点（填“是“或“否“）：
（2）当二次函数y=-x2+4x+c的关联正方形OPMN的顶点P与N位于x轴的两侧时，请解答下列问题：
①若关联正方形OPMN的顶点M、N在x轴的异侧时，求c的取值范围：
②当关联正方形OPMN的顶点M是伴随点时，求关联函数y=-x2+4x+c的解析式；
③关联正方形OPMN被二次函数y=-x2+4x+c图象的对称轴分成的两部分的面积分别为S1与S2，若S1≤S2，请直接写出c的取值范围．13发布：2025/5/23 11:30:2组卷：878引用：2难度：0.1 -
2．如图，抛物线y=ax2+bx+2与x轴交于A，B两点，且OA=2OB，与y轴交于点C，连接BC，抛物线对称轴为直线x=
，D为第一象限内抛物线上一动点，过点D作DE⊥OA于点E，与AC交于点F，设点D的横坐标为m.12
（1）求抛物线的表达式；
（2）当线段DF的长度最大时，求D点的坐标；
（3）抛物线上是否存在点D，使得以点O，D，E为顶点的三角形与△BOC相似？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．
发布：2025/5/23 11:30:2组卷：4850引用：18难度：0.4 -
3．如图，抛物线y=ax2+bx+2交y轴于点C，交x轴于A（-1，0），B（4，0）两点，作直线BC．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）在抛物线的对称轴上找一点P，使PC+PA的值最小，求点P的坐标；
（3）M是x轴上的动点，将点M向上平移3个单位长度得到点N，若线段MN与抛物线和直线BC都存在交点，请直接写出点M的横坐标xM的取值范围．发布：2025/5/23 11:30:2组卷：366引用：6难度：0.4
