今年3月5日，国务院总理李克强作的政府工作报告中，提到要“惩戒学术不端，力戒学术不端，力戒浮躁之风”．教育部日前公布的《教育部2019年部门预算》中透露，2019年教育部拟抽检博士学位论文约6000篇，预算为800万元．国务院学位委员会、教育部2014年印发的《博士硕士学位论文抽检办法》通知中规定：每篇抽检的学位论文送3位同行专家进行评议，3位专家中有2位以上（含2位）专家评议意见为“不合格”的学位论文，将认定为“存在问题学位论文”．有且只有1位专家评议意见为“不合格”的学位论文，将再送2位同行专家进得复评，2位复评专家中有1位以上（含1位）专家评议意见为“不合格”的学位论文，将认定为“存在问题学位论文”．设每篇学位论文被每位专家评议为“不合格”的概率均为p（0＜p＜1），且各篇学位论文是否被评议为“不合格”相互独立．
（1）记一篇抽检的学位论文被认定为“存在问题学位论文”的概率为f（p），求f（p）；
（2）若拟定每篇抽检论文不需要复评的评审费用为900元，需要复评的评审费用为1500元；除评审费外，其它费用总计为100万元．现以此方案实施，且抽检论文为6000篇，问是否会超过预算？并说明理由．
【考点】离散型随机变量的均值（数学期望）．
【答案】（1）f（p）=-3p5+12p4-17p3+9p2．
（2）不会；
设每篇学位论文的评审费为X元，则X的可能取值为900，1500．
P（X=1500）=Cp（1-p）2，P（X=900）=1-Cp（1-p）2，
所以E（X）=900×[1-Cp（1-p）2]+1500×Cp（1-p）2=900+1800p（1-p）2
令，g（p）=p（1-p）2，p∈（0，1）
．g′（p）=（1-p）2-2p（1-p）=（3p-1）（p-1）
当p∈（0，）时，g′（p）＞0，g（p）在（0，）单调递增，
当p∈（，1）时，g′（p）＜0，g（p）在（，1）单调递减，
所以g（p）的最大值为g（）=．
所以实施此方案，最高费用为100+6000×）×10-4=800（万元）．
综上，若以此方案实施，不会超过预算．
（2）不会；
设每篇学位论文的评审费为X元，则X的可能取值为900，1500．
P（X=1500）=C
1
3
1
3
所以E（X）=900×[1-C
1
3
1
3
令，g（p）=p（1-p）2，p∈（0，1）
．g′（p）=（1-p）2-2p（1-p）=（3p-1）（p-1）
当p∈（0，
1
3
1
3
当p∈（
1
3
1
3
所以g（p）的最大值为g（
1
3
4
27
所以实施此方案，最高费用为100+6000×
（
900
+
1800
×
4
27
综上，若以此方案实施，不会超过预算．
【解答】
【点评】
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发布：2024/6/27 10:35:59组卷：182引用：4难度：0.5
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