已知函数f（x）=ax+blnx+1，且点
（
1
2
，
f
（
1
2
）
）
处的切线为y=x-ln2．
（1）求a、b的值，并证明：当x＞0时，
1
x
+
1
＜
ln
x
+
1
x
＜
1
x
成立．
（2）已知x∈n∈N，n≥2，求证：
（
1
+
1
2
3
）
（
1
+
1
3
3
）
…
（
1
+
1
n
3
）
＜
4
e
．

【答案】（1）a=-1，b=1，证明见解答．（2）证明见解答．

【解答】

【点评】

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发布：2024/6/27 10:35:59组卷：53引用：1难度：0.3

相似题

1．已知函数
f
（
x
）
=
ln
2
+
x
2
-
x
+
1
，若关于x的不等式
f
（
k
e
x
）
+
f
（
-
1
2
x
）
＞
2
对任意x∈（0，2）恒成立，则实数k的取值范围（　　）
A．（
1
2
e
，+∞） B．（
1
2
e
，
2
e
2
） C．（
1
2
e
，
2
e
2
] D．（
2
e
2
，1]
发布：2025/1/5 18:30:5组卷：296引用：2难度：0.4
解析
2．已知函数f（x）=ax³+x²+bx（a,b∈R）的图象在x=-1处的切线斜率为-1，且x=-2时，y=f（x）有极值．
（1）求f（x）的解析式；
（2）求f（x）在[-3，2]上的最大值和最小值．
发布：2024/12/29 12:30:1组卷：47引用：4难度：0.5
解析
3．已知函数f（x）=
e
x
-
a
x
2
1
+
x
．
（1）若a=0，讨论f（x）的单调性．
（2）若f（x）有三个极值点x₁，x₂，x₃．
①求a的取值范围；
②求证：x₁+x₂+x₃＞-2．
发布：2024/12/29 13:0:1组卷：187引用：2难度：0.1
解析

已知函数f（x）=ax+blnx+1，且点（12，f（12））处的切线为y=x-ln2．（1）求a、b的值，并证明：当x＞0时，1x+1＜lnx+1x＜1x成立．（2）已知x∈n∈N，n≥2，求证：（1+123）（1+133）…（1+1n3）＜4e．