小明在学习了“命题”“逆命题”相关知识后发现有的平面图形的判定方法，是通过研究其性质定理的逆命题得出的，在学习等腰三角形的相关知识时，小明发现其性质定理“等边对等角”与判定定理“等角对等边”也存在互逆关系，如图1，用几何语言表达就是：
性质：∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
判定：∵∠B=∠C，
∴AB=AC．
由此，爱动脑筋的小明进行了如下思考：“等腰三角形三线合一”的性质可以分解为三个不同的真命题，即：
（1）等腰三角形底边上的中线也是底边上的高线；
（2）等腰三角形顶角的平分线也是底边上的高线：
（3）等腰三角形顶角的平分线也是底边上的中线；
由此3个真命题，小明得到三个新命题，即：
Ⅰ．如果一个三角形一边上的中线也是这边上的高线，那么这个三角形是等腰三角形；
Ⅱ．如果一个三角形一个角的平分线也是这个角对边上的高线，那么这个三角形是等腰三角形；
Ⅲ． 如果一个三角形一个角的平分线也是这个角对边上的中线，那么这个三角形是等腰三角形如果一个三角形一个角的平分线也是这个角对边上的中线，那么这个三角形是等腰三角形．
（1）请你根据前面的命题3写出小明猜想的第Ⅲ个命题：如果一个三角形一个角的平分线也是这个角对边上的中线，那么这个三角形是等腰三角形如果一个三角形一个角的平分线也是这个角对边上的中线，那么这个三角形是等腰三角形；
（2）小明认为这三个命题如果是真命题，那么就可以作为等腰三角形的判定方法，于是小明对三个命题进行证明，他把前两个命题根据图2写出了已知，求证：
命题Ⅰ：△ABC中，D是BC边上的中点，AD⊥BC，求证：△ABC是等腰三角形；
命题Ⅱ：△ABC中，AD平分∠BAC，AD⊥BC，求证：△ABC是等腰三角形；
命题Ⅲ：△ABC中，AD平分∠BAC，D是BC边上的中点，求证：△ABC是等腰三角形△ABC中，AD平分∠BAC，D是BC边上的中点，求证：△ABC是等腰三角形；
①请你写出命题Ⅲ的几何语言；
②小明猜想的三个命题是否都是真命题，如果不是，请说明理由．如果是，请帮助小明进行证明．
【考点】三角形综合题．
【答案】如果一个三角形一个角的平分线也是这个角对边上的中线，那么这个三角形是等腰三角形；如果一个三角形一个角的平分线也是这个角对边上的中线，那么这个三角形是等腰三角形；△ABC中，AD平分∠BAC，D是BC边上的中点，求证：△ABC是等腰三角形
【解答】
【点评】
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发布：2024/6/28 8:0:9组卷：105引用：1难度：0.3
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1．已知直角△ABC，∠BAC=90°，D是斜边BC的中点，E、F分别是AB、AC边上的点，且DE⊥DF，连接EF．
（1）如图1，求证：∠BED=∠AFD；
（2）如图1，求证：BE2+CF2=EF2；
（3）如图2，当∠ABC=45°，若BE=4，CF=3，求△DEF的面积．发布：2024/12/23 14:0:1组卷：216引用：3难度：0.2 -
2．已知A（0，4），B（-4，0），D（9，4），C（12，0），动点P从点A出发，在线段AD上，以每秒1个单位的速度向点D运动：动点Q从点C出发，在线段BC上，以每秒2个单位的速度向点B运动，点P、Q同时出发，当其中一个点到达终点时，另一个点随之停止运动，设运动时间为t（秒）．
（1）当t=秒时，PQ平分线段BD；
（2）当t=秒时，PQ⊥x轴；
（3）当时，求t的值．∠PQC=12∠D发布：2024/12/23 15:0:1组卷：185引用：3难度：0.1 -
3．一副三角板如图1摆放，∠C=∠DFE=90°，∠B=30°，∠E=45°，点F在BC上，点A在DF上，且AF平分∠CAB，现将三角板DFE绕点F顺时针旋转（当点D落在射线FB上时停止旋转）．
（1）当∠AFD=°时，DF∥AC；当∠AFD=°时，DF⊥AB；
（2）在旋转过程中，DF与AB的交点记为P，如图2，若△AFP有两个内角相等，求∠APD的度数；
（3）当边DE与边AB、BC分别交于点M、N时，如图3，若∠AFM=2∠BMN，比较∠FMN与∠FNM的大小，并说明理由．
发布：2024/12/23 18:30:1组卷：1755引用：10难度：0.1
