小明在学习了“命题”“逆命题”相关知识后发现有的平面图形的判定方法，是通过研究其性质定理的逆命题得出的，在学习等腰三角形的相关知识时，小明发现其性质定理“等边对等角”与判定定理“等角对等边”也存在互逆关系，如图1，用几何语言表达就是：
性质：∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
判定：∵∠B=∠C，
∴AB=AC．
由此，爱动脑筋的小明进行了如下思考：“等腰三角形三线合一”的性质可以分解为三个不同的真命题，即：
（1）等腰三角形底边上的中线也是底边上的高线；
（2）等腰三角形顶角的平分线也是底边上的高线：
（3）等腰三角形顶角的平分线也是底边上的中线；
由此3个真命题，小明得到三个新命题，即：
Ⅰ．如果一个三角形一边上的中线也是这边上的高线，那么这个三角形是等腰三角形；
Ⅱ．如果一个三角形一个角的平分线也是这个角对边上的高线，那么这个三角形是等腰三角形；
Ⅲ． 如果一个三角形一个角的平分线也是这个角对边上的中线，那么这个三角形是等腰三角形如果一个三角形一个角的平分线也是这个角对边上的中线，那么这个三角形是等腰三角形．
（1）请你根据前面的命题3写出小明猜想的第Ⅲ个命题：如果一个三角形一个角的平分线也是这个角对边上的中线，那么这个三角形是等腰三角形如果一个三角形一个角的平分线也是这个角对边上的中线，那么这个三角形是等腰三角形；
（2）小明认为这三个命题如果是真命题，那么就可以作为等腰三角形的判定方法，于是小明对三个命题进行证明，他把前两个命题根据图2写出了已知，求证：
命题Ⅰ：△ABC中，D是BC边上的中点，AD⊥BC，求证：△ABC是等腰三角形；
命题Ⅱ：△ABC中，AD平分∠BAC，AD⊥BC，求证：△ABC是等腰三角形；
命题Ⅲ：△ABC中，AD平分∠BAC，D是BC边上的中点，求证：△ABC是等腰三角形△ABC中，AD平分∠BAC，D是BC边上的中点，求证：△ABC是等腰三角形；
①请你写出命题Ⅲ的几何语言；
②小明猜想的三个命题是否都是真命题，如果不是，请说明理由．如果是，请帮助小明进行证明．
【考点】三角形综合题．
【答案】如果一个三角形一个角的平分线也是这个角对边上的中线，那么这个三角形是等腰三角形；如果一个三角形一个角的平分线也是这个角对边上的中线，那么这个三角形是等腰三角形；△ABC中，AD平分∠BAC，D是BC边上的中点，求证：△ABC是等腰三角形
【解答】
【点评】
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发布：2024/6/28 8:0:9组卷：115引用：1难度：0.3
相似题
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1．（1）阅读理解：
如图1，在△ABC中，若AB=10，AC=6，求BC边上的中线AD的取值范围．解决此问题可以用如下方法：延长AD到点E使DE=AD，连接BE（或将△ACD绕着点D逆时针旋转180°得到△EBD），把AB，AC，2AD集中在△ABE中．利用三角形三边的关系即可判断中线AD的取值范围是；
（2）问题解决：如图2，在△ABC中，D是BC边上的中点，DE⊥DF于点D，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF，求证：BE+CF＞EF．
发布：2025/6/17 11:0:1组卷：624引用：7难度：0.4 -
2．已知，如图，在平面直角坐标系中，A为y轴正半轴上一点，B为x轴负半轴上一点．
（1）若BP平分∠ABO，AP平分∠BAO的外角，求∠P．
（2）如图2，C为x轴正半轴上一点，BP平分∠ABC，且P在AC的垂直平分线上．若∠ABC=2∠ACB，求证：AP∥BC．
（3）在第（2）问的条件下，D是AB上一点，E是x轴正半轴上一点，连AE交DP于H．当∠DHE与∠ABE满足什么条件时，DP=AE，请说明理由．
发布：2025/6/17 19:30:1组卷：75引用：1难度：0.3 -
3．把一副三角板按如图1摆放（点C与点E重合），点B，C（E），F在同一直线上．∠ACB=∠DFE=90°，∠A=30°，∠DEF=45°，BC=EF=8cm,点P是线段AB的中点．△DEF从图1的位置出发，以4cm/s的速度沿CB方向匀速运动，如图2，DE与AC相交于点Q，连接PQ．当点D运动到AC边上时，△DEF停止运动．设运动时间为t（s）．
（1）当t=1时，求AQ的长；
（2）当t为何值时，点A在线段PQ的垂直平分线上？
（3）当t为何值时，△APQ是直角三角形？
发布：2025/6/17 21:30:1组卷：286引用：3难度：0.1
