实际问题：
各边长都是整数，最大边长为31的三角形有多少个？
问题建模：为解决上面的数学问题，我们先研究下面的数学模型
在1～n这n个自然数中，每次取两个数（可重复），使得所取的两个数之和大于n,有多少种不同的取法？
为了找到解决问题的方法，我们把上面数学模型简单化．
探究一：
在1～4这4个自然数中，每次取两个数（可重复），使得所取的两个数之和大于4，有多少种不同的取法？
第一步：在1～4这4个自然数中，每次取两个不同的数，使得所取的两个数之和大于4，根据题意，有下列取法：1+4，2+3，2+4，3+2，3+4，4+1，4+2，4+3；而1+4与4+1，2+3与3+2，…是同一种取法，所以上述每一种取法都重复过一次，因此共有

1

+

2

+

2

+

3

2

=4=

4

2

4

种不同的取法．
第二步：在1～4这4个自然数中，每次取两个相同数，使得所取的两个数之和大于4，有下列取法：3+3，4+4，因此共有2种不同的取法．
综上所述，在1～4这4个自然数中，每次取两个数（可重复），使得所取的两个数之和大于4，有

4

2

4

+2种不同的取法．
探究二：
在1～5这5个自然数中，每次取两个数（可重复），使得所取的两个数之和大于5，有多少种不同的取法？
第一步：在1～5这5个自然数中，每次取两个不同的数，使得所取的两个数之和大于5，有下列取法：1+5，2+4，2+5，3+4，3+5，4+2，4+3，4+5，5+1，5+2，5+3，5+4，而1+5与5+1，2+4与4+2，是同一种取法，所以上述每一种取法都重复过一次，因此共有

1

+

2

+

2

+

3

+

4

2

=6=

5

2

-

1

4

种不同的取法．
第二步：在1～5这5个自然数中，每次取两个相同数，使得所取的两个数之和大于5，有下列取法：3+3，4+4，5+5，因此共有3种不同的取法．
综上所述，在1～5这5个自然数中，每次取两个数（可重复），使得所取的两个数之和大于5，有

5

2

-

1

4

+3种不同的取法．
探究三：
在1～6这6个自然数中．每次取两个数（可重复），使得所取的两个数之和大于6，有多少种不同的取法？（仿照探究二写出探究过程）
探究四：
在1～7这7个自然数中，每次取两个数（可重复），使得所取的两个数之和大于7，有

16

16

种不同的取法．
探究五：
在1～n（n为偶数）这n个自然数中，每次取两个数（可重复），使得所取的两个数之和大于n,有

（

n

2

4

+

n

2

）

（

n

2

4

+

n

2

）

种不同的取法．
探究六：
在1～n（n为奇数）这n个自然数中，每次取两个数（可重复），使得所取的两个数之和大于n,有

（

n

2

-

1

4

+

n

+

1

2

）

（

n

2

-

1

4

+

n

+

1

2

）

种不同的取法．
问题解决：
（1）各边长都是整数，最大边长为20的三角形有

110

110

个；
（2）各边长都是整数，最大边长为31的三角形有

256

256

个．