已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的左、右顶点分别A1，A2，上顶点为B，△A1A2B的面积为3，C的短轴长为2．
（1）求C的方程；
（2）斜率不为0的直线l交C于P，Q两点（异于点A1），D为PQ的中点，且|A1D|=|PD|，证明：直线l恒过定点．
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=
1
（
a
＞
b
＞
0
）
【答案】（1）．
（2）证明：由题意设直线/的方程为x=my+t，P（x1，y1），Q（x2，y2），
联立
，得（m2+9）y2+2mty+t2-9=0，
所以Δ=4m2t2-4（m2+9）（t2-9）＞0，即t2＜m2+9，
，
因为|A1D|=|PD|=|QD|，所以A1P⊥A1Q，所以，
即（x1+3）（x2+3）+y1y2=0，
则（my1+t+3）（my2+t+3）+y1y2=0，
整理得，
所以，
即（m2+1）（t+3）（t-3）-2m2t（t+3）+（t+3）2（m2+9）=0，
整理得（t+3）（5t+12）=0，解得或t=-3，
当t=-3时，直线l的方程为x=my-3，恒过点（-3，0），舍去；
当时，直线/的方程为，恒过点，符合题意，
即直线l恒过定点．
x
2
9
+
y
2
=
1
（2）证明：由题意设直线/的方程为x=my+t，P（x1，y1），Q（x2，y2），
联立
x 2 9 + y 2 = 1 |
x = my + t |
所以Δ=4m2t2-4（m2+9）（t2-9）＞0，即t2＜m2+9，
y
1
+
y
2
=
-
2
mt
m
2
+
9
，
y
1
y
2
=
t
2
-
9
m
2
+
9
因为|A1D|=|PD|=|QD|，所以A1P⊥A1Q，所以
A
1
P
•
A
1
Q
=
0
即（x1+3）（x2+3）+y1y2=0，
则（my1+t+3）（my2+t+3）+y1y2=0，
整理得
（
m
2
+
1
）
y
1
y
2
+
m
（
t
+
3
）
（
y
1
+
y
2
）
+
（
t
+
3
）
2
=
0
所以
（
m
2
+
1
）
t
2
-
9
m
2
+
9
+
m
（
t
+
3
）
（
-
2
mt
m
2
+
9
）
+
（
t
+
3
）
2
=
0
即（m2+1）（t+3）（t-3）-2m2t（t+3）+（t+3）2（m2+9）=0，
整理得（t+3）（5t+12）=0，解得
t
=
-
12
5
当t=-3时，直线l的方程为x=my-3，恒过点（-3，0），舍去；
当
t
=
-
12
5
x
=
my
-
12
5
（
-
12
5
，
0
）
即直线l恒过定点
（
-
12
5
，
0
）
【解答】
【点评】
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发布：2024/6/27 10:35:59组卷：157引用：3难度：0.5
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