已知函数f（x）=lnx+ax²+（2a+1）x.
（1）讨论f（x）的单调性；
（2）当a＜0时，证明
f
（
x
）
≤
-
3
4
a
-
2
；
（3）若对任意的不等正数x₁，x₂，总有
f
（
x
1
）
-
f
（
x
2
）
x
1
-
x
2
＞
2
，求实数a的取值范围．

【答案】（1）当a＜0时，f（x）在

（

，

）

上单调递增，在

（

，

∞

）

上单调递减；
当a≥0时，f（x）在（0，+∞）单调递增．
（2）证明过程见解析．
（3）[

，+∞）．

【解答】

【点评】

声明：本试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布。

发布：2024/6/27 10:35:59组卷：170引用：3难度：0.5

相似题

1．已知函数
f
（
x
）
=
ln
2
+
x
2
-
x
+
1
，若关于x的不等式
f
（
k
e
x
）
+
f
（
-
1
2
x
）
＞
2
对任意x∈（0，2）恒成立，则实数k的取值范围（　　）
A．（
1
2
e
，+∞） B．（
1
2
e
，
2
e
2
） C．（
1
2
e
，
2
e
2
] D．（
2
e
2
，1]
发布：2025/1/5 18:30:5组卷：296引用：2难度：0.4
解析
2．已知函数f（x）=
e
x
-
a
x
2
1
+
x
．
（1）若a=0，讨论f（x）的单调性．
（2）若f（x）有三个极值点x₁，x₂，x₃．
①求a的取值范围；
②求证：x₁+x₂+x₃＞-2．
发布：2024/12/29 13:0:1组卷：187引用：2难度：0.1
解析
3．已知函数f（x）=ax³+x²+bx（a,b∈R）的图象在x=-1处的切线斜率为-1，且x=-2时，y=f（x）有极值．
（1）求f（x）的解析式；
（2）求f（x）在[-3，2]上的最大值和最小值．
发布：2024/12/29 12:30:1组卷：47引用：4难度：0.5
解析

已知函数f（x）=lnx+ax2+（2a+1）x.（1）讨论f（x）的单调性；（2）当a＜0时，证明f（x）≤-34a-2；（3）若对任意的不等正数x1，x2，总有f（x1）-f（x2）x1-x2＞2，求实数a的取值范围．