已知曲线C：（5-m）x2+（m-2）y2=8（m∈R）
（1）若曲线C是焦点在x轴点上的椭圆，求m的取值范围；
（2）设m=4，曲线C与y轴的交点为A，B（点A位于点B的上方），直线y=kx+4与曲线C交于不同的两点M、N，直线y=1与直线BM交于点G．求证：A，G，N三点共线．
【答案】（1）；
（2）证明：由已知直线代入椭圆方程化简得：（2k2+1）x2+16kx+24=0，Δ=32（2k2-3）＞0，解得：
由韦达定理得：①，，②
设N（xN，kxN+4），M（xM，kxM+4），G（xG，1），MB方程为：，则，
∴，=（xN，kxN+2），
欲证A，G，N三点共线，只需证，共线
即成立，化简得：（3k+k）xMxN=-6（xM+xN）
将①②代入可得等式成立，则A，G，N三点共线得证．
7
2
＜
m
＜
5
（2）证明：由已知直线代入椭圆方程化简得：（2k2+1）x2+16kx+24=0，Δ=32（2k2-3）＞0，解得：
k
2
＞
3
2
由韦达定理得：
x
M
+
x
N
=
-
16
k
2
k
2
+
1
x
M
x
N
=
24
2
k
2
+
1
设N（xN，kxN+4），M（xM，kxM+4），G（xG，1），MB方程为：
y
=
k
x
M
+
6
x
M
x
-
2
G
（
3
x
M
kx
M
+
6
，
1
）
∴
AG
=
（
3
x
M
kx
M
+
6
，-
1
）
AN
欲证A，G，N三点共线，只需证
AG
AN
即
3
x
M
x
M
k
+
6
（
x
N
k
+
2
）
=
-
x
N
将①②代入可得等式成立，则A，G，N三点共线得证．
【解答】
【点评】
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发布：2024/6/27 10:35:59组卷：2130引用：11难度：0.3
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