四边形ABCD内接于圆O，AG是⊙O的直径，AB=BG，延长CD到E，连接AE，∠E=2∠BAC，∠ABD=2∠DAE，AC交BD于F．
（1）求证：∠AGC=∠CAD；
（2）如果∠BGC=15°，求证：AG⊥CD；
（3）在（2）的条件下，OM=2，求MB的长．
【考点】圆的综合题．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）2．
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【解答】
【点评】
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发布：2025/6/10 15:30:2组卷：82引用：1难度：0.3
相似题
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1．已知，如图：正方形ABCD，AB=4，动点E以
个单位每秒的速度从点A出发向终点C运动，同时动点F以2个单位每秒的速度从点B出发，沿射线BC向右运动．当点E到达点C时，点E、点F同时停止运动．连接EF，以EF为直径作⊙O，该圆与直线AC的另一个交点为点G．设运动时间为t.2
（1）当点F在BC边上运动时，如图①，
①填空：FC=，AE=；（用含有t的代数式表示）
②连接DE，DF，求证：△DEF是等腰直角三角形；
（2）在运动的过程中，线段EG的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出这个定值；
（3）在运动的过程中，要使得圆心O始终在正方形ABCD的内部（不含边界），请直接写出点t的取值范围．
发布：2025/6/13 14:30:2组卷：257引用：4难度：0.1 -
2．【阅读材料】如图1所示，对于平面内⊙P，在⊙P上有弦AB，取弦AB的中点M，我们把弦AB的中点M到某点或某直线的距离叫做弦AB到这点或者这条直线的“密距”．例如：图1中线段MO的长度即为弦AB到原点O的“密距”，过点M作y轴的垂线交y轴于点N，线段MN的长度即为弦AB到y轴的“密距”．
【类比应用】已知⊙P的圆心为P（0，8），半径为4，弦AB的长度为4，弦AB的中点为M．
（1）当AB∥y轴时，如图2所示，圆心P到弦AB的中点M的距离是 ，此时弦AB到原点O的“密距”是 ．
（2）①如果弦AB在⊙P上运动，在运动过程中，圆心P到弦AB的中点M的距离变化吗？若不变化，请求出PM的长，若变化，请说明理由．
②直接写出弦AB到原点的“密距”d的取值范围 ；
【拓展应用】如图3所示，已知⊙P的圆心为P（0，8），半径为4，点A（0，4），点B为⊙P上的一动点，弦AB到直线y=-x-6的“密距”的最大值是 （直接写出答案）．
发布：2025/6/13 11:0:2组卷：198引用：3难度：0.2 -
3．在平面直角坐标系xOy中，给定⊙C，若将线段AB绕原点O逆时针旋转α（0°＜α＜180°），使得旋转后对应的线段A′B′所在直线与⊙C相切，并且切点P在线段A′B′上，则称线段AB是⊙C的旋转切线段，其中满足题意的最小的α称为关于⊙C和线段AB的最小旋转角．
已知C（0，2），⊙C的半径为1．
（1）如图1，A（2，0），线段OA是⊙C的旋转切线段，写出关于⊙C和线段OA的最小旋转角为 °；
（2）如图2，点A1，B1，A2，B2，A3，B3的横、纵坐标都是整数．在线段A1B1，A2B2，A3B3中，⊙C的旋转切线段是 ；
（3）已知B（1，0），D（t,0），若线段BD是⊙C的旋转切线段，求t的取值范围；
（4）已知点M的横坐标为m,存在以M为端点，长度为的线段是⊙C的旋转切线段，直接写出m的取值范围．3
发布：2025/6/13 11:30:2组卷：258引用：4难度：0.1
