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已知过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F的直线l与抛物线交于A，B两点，求证：1FA+1FB=2p．
1
FA
+
1
FB
=
2
p
【考点】抛物线的焦点与准线．
【答案】证明：设过焦点F的直线方程为 y=k（x-），
A（x1，y1），B（x2，y2），
y=k（x-）与y2=2px联立消y得k2（x-）2=2px，
∴k2x2-（k2p+2p）x+=0，
∴x1+x2=，x1x2=．
∴|FA|=x1+，|FB|=x2+，
∴===．
p
2
A（x1，y1），B（x2，y2），
y=k（x-
p
2
p
2
∴k2x2-（k2p+2p）x+
k
2
p
2
4
∴x1+x2=
k
2
p
+
2
p
k
2
p
2
4
∴|FA|=x1+
p
2
p
2
∴
1
FA
+
1
FB
FA
+
FB
FA
•
FB
x
2
+
x
2
+
p
（
x
1
+
p
2
）
（
x
2
+
p
2
）
2
p
【解答】
【点评】
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发布：2024/5/23 20:38:36组卷：30引用：2难度：0.9
