综合与探究
观察以下各式：
（x-y）（x+y）=x2-y2．
（x-y）（x2+xy+y2）=x3-y3．
（x-y）（x3+x2y+xy2+y3）=x4-y4．
（x-y）（x4+x3y+x2y2+xy3+y4）=x5-y5．
请回答以下问题：
（1）填空：（x-y）（x6+x5y+x4y2+x3y3+x2y4+xy5+y6）=x7-y7x7-y7．
（2）若n≥2，求证：6n-2n一定能被4整除．
（3）求10209-1019-1018-1017-1016-…-102-10-1的值．
1
0
20
9
【答案】x7-y7
【解答】
【点评】
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发布：2025/6/11 12:30:1组卷：142引用：3难度：0.5
相似题
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1．阅读下列解答过程，并仿照解决问题：
已知x2-2x-3=0，求x3+x2-9x-8的值．
解：∵x2-2x-3=0，
∴x2=2x+3，
∴x3+x2-9x-8=x•x2+x2-9x-8=x•（2x+3）+（2x+3）-9x-8=2x2+3x+2x+3-9x-8=2（2x+3）-4x-5=1．
请你仿照上题的解法完成下题：x2-5x+1=0，求x3-4x2-4x-1的值．发布：2025/6/13 5:30:2组卷：262引用：3难度：0.9 -
2．在现今”互联网+”的时代，密码与我们的生活已经密切相连，密不可分，而诸如“123456”、生日等简单密码又容易被破解，因此利用简单方法产生一组容易记忆的密码就很有必要了，有一种用“因式分解”法产生的密码，方便记忆，其原理是：将一个多项式分解因式，如多项式x3-x2因式分解的结果为x2（x-1），当x=5时，x2=25，x-1=04，此时可以得到数字密码2504或0425；如多项式x3+2x3-x-2因式分解的结果为（x-1）（x+1）（x+2），当x=10时，x-1=09，x+1=11，x+2=12，此时可以得到数字密码091112．
（1）根据上述方法，当x=12，y=5时，求多项式x3-xy2分解因式后可以形成哪些数字密码；（写出三个）
（2）若一个直角三角形的周长为12，斜边长为5，其中两条直角边分别为x,y,求出一个由多项式x3y+xy3分解因式后得到的密码；（只需一个即可）
（3）若多项式x2+（m-3n）x-6n因式分解后，利用本题的方法，当x=25时可以得到一个密码2821，求m、n的值．发布：2025/6/13 6:0:2组卷：133引用：1难度：0.5 -
3．（阅读材料）把形如ax2+bx+c的二次三项式（或其一部分）经过适当变形配成完全平方式的方法叫配方法，配方法在因式分解、证明恒等式．利用a2≥0求代数式最值等问题中都有广泛应用．
例如：利用配方法将x2-6x+8变形为a（x+m）2+n的形式，并把二次三项式分解因式．
配方：x2-6x+8=x2-6x+32-32+8=（x-3）2-1
分解因式：x2-6x+8=（x-3）2-1=（x-3+1）（x-3-1）=（x-2）（x-4）
（解决问题）根据以上材料，解答下列问题：
（1）利用配方法将多项式x2-4x-5化成a（x+m）2+n的形式；
（2）利用配方法把二次三项式x2-2x-35分解因式；
（3）若a、b、c分别是△ABC的三边，且a2+2b2+3c2-2ab-2b-6c+4=0，试判断△ABC的形状，并说明理由；
（4）求证：无论x,y取任何实数，代数式x2+y2+4x-6y+15的值恒为正数．发布：2025/6/13 6:0:2组卷：356引用：1难度：0.6
