如图，四边形ABCD中，AB=6，CD=9，∠ABC+∠DCB=120°，点P是对角线AC上的一动点（不与点A，C重合），过点P作PE∥CD，PF∥AB，分别交AD，BC于点E，F，连接EF．
（1）求∠EPF的度数；
（2）设PE=x,PF=y,随着点P的运动，x+32y的值是否会发生变化？若变化，请求出它的变化范围；若不变，请求出它的值；
（3）求EF的取值范围（可直接写出最后结果）．
【参考材料】
对于“已知x+y=2（x＞0，y＞0），求xy的最大值”这个问题，我们可以采取如下两种思路：
【方法一】
①转化：要求xy的最大值，只需先求xy的最大值；
②消元：显然，y=2-x,所以，xy=x（2-x）=-x2+2x；
③整体观：把两变量x,y的乘积，看作一个整体变量，可设xy=w,则w=-x2+2x,问题转化为求w的最大值；
④化归：显然，w是x的二次函数，这已是熟悉的问题．
【方法二】
由（x-y）2≥0，可得，x+y≥2xy，
所以，xy≤x+y2=22=1，（等号成立的条件是x=y=1）
所以，xy的最大值为1．
x
+
3
2
y
xy
xy
（
x
-
y
）
2
≥
0
x
+
y
≥
2
xy
xy
≤
x
+
y
2
=
2
2
=
1
xy
【考点】二次函数综合题．
【答案】（1）∠EPF的度数为120°；
（2）随着点P的运动，的值不会发生变化，x+y=9；
（3）EF的取值范围是≤EF＜9．
（2）随着点P的运动，
x
+
3
2
y
3
2
（3）EF的取值范围是
9
21
7
【解答】
【点评】
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发布：2024/6/27 10:35:59组卷：433引用：1难度：0.2
相似题
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1．在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+bx+c（b、c为常数），经过点（3，0）和（0，-3）．
（1）求该抛物线函数表达式；
（2）当-1≤x≤4时，求二次函数y=x2+bx+c的最大值和最小值；
（3）点P为此函数图象上任意一点，横坐标为m,过点P作PQ⊥y轴，交直线x=3于点Q．当点P和点Q不重合时，以PQ为边，点P为直角顶点向y轴负方向作等腰直角三角形PQM．
①当点M到抛物线顶点纵坐标所在直线的距离是5时，求m的值；
②当抛物线在等腰直角三角形PQM内部（包括边界）的点的纵坐标之差最大值是1时，直接写出m的值．发布：2025/5/22 4:30:1组卷：261引用：1难度：0.4 -
2．如图，直线y=-2x+6与x,y轴分别交于B，C两点，抛物线y=-2x2+bx+c经过B，C两点，且交x轴于另一点A．
（1）求B，C两点的坐标及该抛物线所表示的二次函数的表达式；
（2）如图1，若直线l为抛物线的对称轴，请在直线l上找一点M，使得AM+CM最小，求出点M的坐标；
（3）如图2，若在直线BC上方的抛物线上有一动点P（与B，C两点不重合），过点P作PH⊥x轴于点H，与线段BC交于点N，当点N是线段PH的三等分点时，求点P的坐标．发布：2025/5/22 4:30:1组卷：127引用：2难度：0.3 -
3．如图①，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+3经过点A（-1，0）、B（3，0）两点，且与y轴交于点C．
（1）求抛物线的表达式；
（2）若⊙M经过A，B，C三点，N是线段BC上的动点，求MN的取值范围．
（3）点P是二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）图象上位于第一象限内的一点，过点P作PQ∥AC，交直线BC于点Q，若，求点P的坐标．PQ=12AC发布：2025/5/22 4:30:1组卷：116引用：1难度：0.2
