设椭圆E：x22+y2=1，直线l1经过点M（m,0），直线l2经过点N（n,0），直线l1∥直线l2，且直线l1、l2分别与椭圆E相交于A，B两点和C，D两点．
（Ⅰ）若M，N分别为椭圆E的左、右焦点，且直线l1⊥x轴，求四边形ABCD的面积；
（Ⅱ）若直线l1的斜率存在且不为0，四边形ABCD为平行四边形，求证：m+n=0；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，判断四边形ABCD能否为矩形，说明理由．
E
：
x
2
2
+
y
2
=
1
【考点】直线与椭圆的综合．
【答案】（Ⅰ）2；
（Ⅱ）证明：由题可设，l1：x=ty+m（t∈R），A（x1，y1），B（x2，y2），
由
得，（t2+2）y2+2mty+m2-2=0，
∴，且Δ=4m2t2-4（t2+2）（m2-2）＞0，即t2-m2+2＞0，
∴
=
=2，
同理可得，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴|AB|=|CD|，即m2=n2，
由m≠n，故m=-n，即m+n=0，即得证；
（Ⅲ）不能为矩形，理由如下：
点O到直线l1，直线l2的距离分别为，
由（Ⅱ）可知，m=-n，
∴点O到直线l1，直线l2的距离相等，
根据椭圆的对称性，原点O应为平行四边形ABCD的对称中心，
假设平行四边形ABCD为矩形，则|OA|=|OB|，
那么，则，
∴x1=x2，这是直线l1⊥x轴，这与直线l1的斜率存在矛盾，故假设不成立，即平行四边形ABCD不为矩形．
2
（Ⅱ）证明：由题可设，l1：x=ty+m（t∈R），A（x1，y1），B（x2，y2），
由
x = ty + m |
x 2 + 2 y 2 = 2 |
∴
y
1
+
y
2
=
-
2
mt
t
2
+
2
，
y
1
y
2
=
m
2
-
2
t
2
+
2
∴
|
AB
|
=
1
+
t
2
•
（
y
1
+
y
2
）
2
-
4
y
1
y
2
=
1
+
t
2
•
（
2
mt
t
2
+
2
）
2
-
4
•
m
2
-
2
t
2
+
2
=2
2
•
1
+
t
2
t
2
+
2
•
t
2
-
m
2
+
2
同理可得
|
CD
|
=
2
2
•
1
+
t
2
t
2
+
2
•
t
2
-
n
2
+
2
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴|AB|=|CD|，即m2=n2，
由m≠n，故m=-n，即m+n=0，即得证；
（Ⅲ）不能为矩形，理由如下：
点O到直线l1，直线l2的距离分别为
|
m
|
1
+
t
2
，
|
n
|
1
+
t
2
由（Ⅱ）可知，m=-n，
∴点O到直线l1，直线l2的距离相等，
根据椭圆的对称性，原点O应为平行四边形ABCD的对称中心，
假设平行四边形ABCD为矩形，则|OA|=|OB|，
那么
x
1
2
+
y
1
2
=
x
2
2
+
y
2
2
x
1
2
+
1
-
x
1
2
2
=
x
2
2
+
1
-
x
2
2
2
∴x1=x2，这是直线l1⊥x轴，这与直线l1的斜率存在矛盾，故假设不成立，即平行四边形ABCD不为矩形．
【解答】
【点评】
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