【问题提出】在一次课上，老师出了这样一道题：在四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=120°．
∠B=∠ADC=90°，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF=60°，试探究图1中线段BE、EF、FD之间的数量关系．小亮同学认为：延长FD到点G，使DG=BE，连接AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，则可得到BE、EF、FD之间的数量关系是 EF=BE+FDEF=BE+FD．
【探索延伸】在四边形ABCD中，如图2，AB=AD，∠B+∠D=180°，E、F分别是BC、CD上的点，∠EAF=12∠BAD，上述结论是否仍然成立？说明理由．
【结论运用】如图3，台风中心位于小岛（O处）北偏西30°的A处，台风中心风力12级，每远离台风中心40千米，风力就会减弱一级，某货轮位于小岛南偏东70°的B处，并且台风中心和货轮到小岛的距离相等，如果风中心向正东方向以40海里/小时的速度前进，同时该货轮沿北偏东50°的方向以60海里/小时的速度前进，2小时后，它们分别到达E，F处，且∠EOF=70°，问此时该货轮受到台风影响的最大风力有几级？（1海里=1.852千米）
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【考点】四边形综合题．
【答案】EF=BE+FD
【解答】
【点评】
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发布：2024/6/1 8:0:9组卷：572引用：5难度：0.3
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1．连接四边形不相邻两个顶点的线段叫做四边形的对角线，如图1，四边形ABCD中线段AC、线段BD就是四边形ABCD的对角线．把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．
（1）概念理解：如图2，在四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，问四边形ABCD是垂美四边形吗？请说明理由．
（2）性质探究：试探索垂美四边形ABCD两组对边AB，CD的平方和与BC，AD的平方和之间的数量关系．
猜想结论：（要求用文字语言叙述） ．
写出证明过程（先画出图形，写出已知、求证）．
（3）问题解决：如图3，分别以Rt△ACB的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE，连接CE，BG，GE，已知AC=4，AB=5，求GE长．
发布：2025/6/17 6:30:2组卷：304引用：2难度：0.5 -
2．感知：如图①，在正方形ABCD中，点E在对角线AC上（不与点A、C重合），连接ED，EB，过点E作EF⊥ED，交边BC于点F．易知∠EFC+∠EDC=180°，进而证出EB=EF．
探究：如图②，点E在射线CA上（不与点A、C重合），连接ED、EB，过点E作EF⊥ED，交CB的延长线于点F．求证：EB=EF
应用：如图②，若DE=2，CD=1，则四边形EFCD的面积为．
发布：2025/6/17 8:0:1组卷：250引用：5难度：0.3 -
3．如图，现有一张边长为4的正方形纸片ABCD，点P为正方形AD边上的一点（不与点A，点D重合），将正方形纸片折叠，使点B落在P处，点C落在G处，PG交DC于H，折痕为EF．连接BP、BH．（友情提醒：正方形的四条边都相等．即AB=BC=CD=DA；四个内角都是90°；即∠A=∠B=∠C=∠D=90°）
（1）求证：∠APB=∠BPH．
（2）当点P在边AD上移动时，△PDH的周长是否发生变化？并证明你的结论．
（3）设AP为x,求出的BE长．（用含x的代数式表示）发布：2025/6/17 6:0:2组卷：456引用：3难度：0.3
