综合与探究
如图，直线y=-x+4与x轴交于点B，与y轴交于点C，经过B，C两点的抛物线y=-12x2+bx+c与x轴的另一个交点为点A，连接AC．
（1）求抛物线的解析式以及点A的坐标；
（2）若点P是直线BC上方抛物线上的一个动点，过点P作PQ∥AC交直线y=-x+4于点Q，求线段PQ的最大值；
（3）若点M在直线BC上运动，在坐标平面内是否存在另一个点N，使得以A，C，M，N为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
y
=
-
1
2
x
2
+
bx
+
c
【考点】二次函数综合题．
【答案】（1）抛物线的解析式为，A（-2，0）；
（2）PQ的最大值为；
（3）N或N或N（4，6）或N（-7，5）．
y
=
-
1
2
x
2
+
x
+
4
（2）PQ的最大值为
2
5
3
（3）N
（
-
2
-
10
，
10
）
（
-
2
+
10
，-
10
）
【解答】
【点评】
声明：本试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布。
发布：2025/5/22 0:30:1组卷：243引用：1难度：0.3
相似题
-
1．如图，过点
的抛物线y=ax2+bx的对称轴是直线x=2，点B是抛物线与x轴的一个交点，点C在y轴上，点D是抛物线的顶点，设点P在直线OA下方且在抛物线y=ax2+bx上，过点P作y轴的平行线交OA于点Q．A（5，154）
（1）求a、b的值；
（2）求PQ的最大值；
（3）当△BCD是直角三角形时，求△OBC的面积．发布：2025/5/22 16:30:1组卷：269引用：8难度：0.1 -
2．二次函数y=ax2+bx+2的图象交x轴于点A（-1，0），点B（4，0）两点，交y轴于点C．动点M从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿AB方向运动，过点M作MN⊥x轴交直线BC于点N，交抛物线于点D，连接AC，设运动的时间为t秒．
（1）求二次函数y=ax2+bx+2的表达式；
（2）连接BD，当t=时，求△DNB的面积；32
（3）在直线MN上存在一点P，当△PBC是以∠BPC为直角的等腰直角三角形时，求此时点D的坐标．
发布：2025/5/22 17:0:1组卷：1174引用：5难度：0.4 -
3．如图1，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=ax2+bx-5与x轴交于A（-1，0），B（5，0）两点，与y轴交于点C．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）如图2，CE∥x轴与抛物线相交于点E，点H是直线CE下方抛物线上的动点，过点H且与y轴平行的直线与BC，CE分别相交于点F，G，试探究当点H运动到何处时，四边形CHEF的面积最大，求点H的坐标；
（3）若点K为抛物线的顶点，点M（4，m）是该抛物线上的一点，在x轴，y轴上分别找点P，Q，使四边形PQKM的周长最小，求出点P，Q的坐标．
发布：2025/5/22 16:0:1组卷：1478引用：6难度：0.3
