晓芳利用两张正三角形纸片，进行了如下探究：
初步发现
如图1，△ABC和△DCE均为等边三角形，连接AE交BD延长线于点F，求证：∠AFB=60°；
深入探究
如图2，在正三角形纸片△ABC的BC边上取一点D，作∠ADE=60°交∠ACB外角平分线于点E，探究CE，DC和AC的数量关系，并证明；
拓展创新
如图3，△ABC和△DCE均为正三角形，当B，C，E三点共线时，连接PC，若BC=3CE，直接写出下列两式分别是否为定值，并任选其中一个进行证明：
①AP-3PDPC；
②AP+PC+2PDBD-PC+PE．
AP
-
3
PD
PC
AP
+
PC
+
2
PD
BD
-
PC
+
PE
【考点】三角形综合题．
【答案】（1）证明过程见解答；
（2）AC=CE+CD，理由见解答；
（3）①=2，②=1都是定值，证明见解答．
（2）AC=CE+CD，理由见解答；
（3）①
AP
-
3
PD
PC
AP
+
PC
+
2
PD
BD
-
PC
+
PE
【解答】
【点评】
声明：本试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布。
发布：2024/7/27 8:0:9组卷：58引用：4难度：0.1
相似题
-
1．如图，△ABC为等边三角形，D为AB边上一点，过点D作DE∥BC，交AC于点E，连接CD，F为CD的中点，连接BF．
（1）如图1，∠ACD=15°，CD=2，求△BFD的面积；3
（2）如图2，点G在△ADE内部，连接GB、GC，GB=GC，过点G作GK⊥DE，垂足为K，GH⊥AE，垂足为H，GK=GH，连接GF．求证：GC=2GF；
（3）如图3，在（2）的条件下，点D在线段AB上运动，连接FK，延长FK交AD于点P，将线段FP绕F点顺时针旋转90°到FP'，FP'与AC相交于点Q，当AP'最小时，求（）2的值．P′CAP
发布：2025/6/9 18:0:2组卷：446引用：2难度：0.1 -
2．已知：△ABC和同一平面内的点D．
（1）如图1，点D在BC边上，过D作DE∥BA交AC于E，DF∥AC于F．
①依题意，在图1中补全图形；
②∠EDF与∠A的数量关系为 ．
（2）如图2，点D在BC的延长线上，DF∥CA，∠EDF=∠A，判断DE与BA的位置关系，并证明．
（3）如图3，若点D是三角形ABC外部的一个动点，过D作DE∥BA交直线AC于E；DF∥AC交直线AB于F，请直接写出∠EDF与∠A的数量关系（不需证明）．
发布：2025/6/9 18:0:2组卷：15引用：1难度：0.3 -
3．在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=2，将线段CB绕点C顺时针旋转α角得到线段CD，连接BD，过点C作CE⊥BD于点E，连接AD交CB，CE于点F，G．
（1）当α=60°时，如图1，依题意补全图形，直接写出∠AGC的大小；
（2）当α≠60°时，如图2，试判断线段AG与CE之间的数量关系，并证明你的结论；
（3）若F为BC的中点，直接写出BD的长．发布：2025/6/9 18:0:2组卷：145引用：3难度：0.3
