如图，在顶点为P的抛物线y=a（x-h）2+k（a≠0）的对称轴l上取点A（h,k+14a），过A作BC⊥l交抛物线于B、C两点（B在C的左侧），点A′和点A关于点P对称；过A′作直线m⊥l,又分别过点B、C作BE⊥m和CD⊥m,垂足为E、D．在这里我们把点A叫此抛物线的焦点，BC叫此抛物线的直径，矩形BCDE叫此抛物线的焦点矩形．
（1）直接写出抛物线y=14x2的焦点坐标以及直径的长．
（2）求抛物线y=14（x-3）2+2的焦点坐标以及直径的长．
（3）已知抛物线y=a（x-h）2+k（a≠0）的直径为32，求a的值．
（4）①已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的焦点矩形的面积为2，求a的值．
②直接写出抛物线y=14（x-3）2+2的焦点矩形与抛物线y=x2-2mx+m2+1有两个公共点时m的取值范围．
1
4
a
1
4
1
4
3
2
1
4
【考点】二次函数综合题．
【答案】（1）（0，1），4；
（2）（3，3），4；
（3）±；
（4）①a=±；
②当1-＜m≤1或5≤m＜5+时，2个公共点．
（2）（3，3），4；
（3）±
2
3
（4）①a=±
1
2
②当1-
2
2
【解答】
【点评】
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发布：2024/10/3 4:0:1组卷：344引用：3难度：0.1
相似题
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1．如图，已知直线y=kx-6与抛物线y=ax2+bx+c相交于A，B两点，且点A（1，-4）为抛物线的顶点，点B在x轴上．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在（1）中抛物线的第二象限图象上是否存在一点P，使△POB与△POC全等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）若点Q是y轴上一点，且△ABQ为直角三角形，求点Q的坐标．发布：2025/6/25 8:30:1组卷：6972引用：21难度：0.1 -
2．给定一个函数，如果这个函数的图象上存在一个点，它的横、纵坐标相等，那么这个点叫做该函数的不变点．
（1）一次函数y=3x-2的不变点的坐标为．
（2）二次函数y=x2-3x+1的两个不变点分别为点P、Q（P在Q的左侧），将点Q绕点P顺时针旋转90°得到点R，求点R的坐标．
（3）已知二次函数y=ax2+bx-3的两个不变点的坐标为A（-1，-1）、B（3，3）．
①求a、b的值．
②如图，设抛物线y=ax2+bx-3与线段AB围成的封闭图形记作M．点C为一次函数y=-x+m的不变点，以线段AC为边向下作正方形ACDE．当D、E两点中只有一个点在封闭图形M的内部（不包含边界）时，求出m的取值范围．13发布：2025/6/25 7:30:2组卷：348引用：2难度：0.1 -
3．如图，已知抛物线经过A（1，0），B（0，3）两点，对称轴是直线x=-1．
（1）求抛物线对应的函数关系式；
（2）动点Q从点O出发，以每秒1个单位长度的速度在线段OA上运动，同时动点M从O点出发以每秒3个单位长度的速度在线段OB上运动，过点Q作x轴的垂线交线段AB于点N，交抛物线于点P，设运动的时间为t秒．
①当t为何值时，四边形OMPQ为矩形；
②△AON能否为等腰三角形？若能，求出t的值；若不能，请说明理由．发布：2025/6/25 6:0:1组卷：1079引用：59难度：0.5
