已知等轴双曲线的顶点F1（-2，0），F2（2，0）分别是椭圆C的左、右焦点，且x=433是椭圆与双曲线某个交点的横坐标．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设直线l与椭圆C相交于A，B两点，以线段AB为直径的圆过椭圆的上顶点M，求证：直线l恒过定点．
4
3
3
【答案】（1）；
（2）证明：由题意可知，直线l与x轴不垂直，
设直线l：y=kx+m（m≠2），与椭圆C：相交于点A（x1，y1），B（x2，y2），
联立方程组
，可得（2k2+1）x2+4kmx+2m2-8=0，
所以，
因为∠AMB=90°，所以（x1，y1-2）•（x2，y2-2）=0，即x1x2+（y1-2）（y2-2）=0，
x1x2+（kx1+m）（kx2+m）-2（kx1+m+kx2+m）+4=0，
整理可得，
因为m≠2，所以2（k2+1）（m+2）-4k2m+（2k2+1）（m-2）=0，
整理可得3m+2=0，
所以，
故直线l恒过定点．
x
2
8
+
y
2
4
=
1
（2）证明：由题意可知，直线l与x轴不垂直，
设直线l：y=kx+m（m≠2），与椭圆C：
x
2
8
+
y
2
4
=
1
联立方程组
y = kx + m |
x 2 8 + y 2 4 = 1 |
所以
x
1
+
x
2
=
-
4
km
2
k
2
+
1
，
x
1
x
2
=
2
m
2
-
8
2
k
2
+
1
因为∠AMB=90°，所以（x1，y1-2）•（x2，y2-2）=0，即x1x2+（y1-2）（y2-2）=0，
x1x2+（kx1+m）（kx2+m）-2（kx1+m+kx2+m）+4=0，
整理可得
（
k
2
+
1
）
•
2
m
2
-
8
2
k
2
+
1
+
k
（
m
-
2
）
•
-
4
km
2
k
2
+
1
+
（
m
-
2
）
2
=
0
因为m≠2，所以2（k2+1）（m+2）-4k2m+（2k2+1）（m-2）=0，
整理可得3m+2=0，
所以
m
=
-
2
3
故直线l恒过定点
（
0
，-
2
3
）
【解答】
【点评】
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