已知，A、B、C、D四点在⊙O上，A是ˆBDC的中点，延长AD、BC交于E．
（1）如图1，连接BD，求证：∠E=∠ABD；
（2）G是ˆCD的中点，连接DG、CG、BG、AG，作AH⊥BG交BG于H点，求证：cos∠ABG=BG+DG2AB；
（3）如图3，在（2）的条件下，BG经过圆心O，连接AC交BG于M，若BH=2DG=4，求AE的长度．
ˆ
BDC
ˆ
CD
BG
+
DG
2
AB
【考点】圆的综合题．
【答案】（1）见解析；
（2）见解析；
（3）．
（2）见解析；
（3）
6
6
【解答】
【点评】
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发布：2024/9/13 9:0:8组卷：18引用：2难度：0.5
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1．如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，点D是的中点，过点D作⊙O的切线，与AB、AC的延长线分别交于点E、F，连接AD．ˆBC
（1）求证：AF⊥EF．
（2）填空：
①已知AB=8，当BE=时，AC=CF．
②连接BD、CD、OC．当∠E的度数为时，四边形OBDC是菱形．发布：2025/5/25 9:0:1组卷：173引用：2难度：0.4 -
2．已知扇形OAB的半径为4，∠AOB=90°，点P是OA的中点，点Q是弧AB上的一个动点，如图1，将扇形沿PQ折叠，点A的对应点为A'，连接AA'．
（1）如图2，当点O与点A'重合时，求弧BQ的长．
（2）在点Q的运动过程中，求点A′与点B之间的最小距离．
（3）如图3，当Q是弧AB上的中点时，求tan∠APQ的值．发布：2025/5/25 8:30:2组卷：146引用：2难度：0.5 -
3．如图，Q是
上一定点，P是弦AB上一动点，C为AP中点，连接CQ，过点P作PD∥CQ交ˆAB于点D，连接AD，CD．已知AB=8cm,设A，P两点间的距离为xcm,C，D两点间的距离为ycm.（当点P与点A重合时，令y的值为1.30）ˆAB
小荣根据学习函数的经验，对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．
下面是小荣的探究过程，请补充完整：
（1）按照下表中自变量x的值进行取点、画图、测量，得到了y与x的几组对应值：
（2）建立平面直角坐标系，描出以补全后的表中各组对应值为坐标的点，画出该函数的图象；x/cm 0 1 2 3 4 5 6 7 8 y/cm 1.30 1.79 1.74 1.66 1.63 1.69 2.08 2.39 
（3）结合函数图象，解决问题：当DA⊥DP时，AP的长度约为cm.发布：2025/5/25 9:30:1组卷：358引用：3难度：0.1
