抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点A的坐标为（-1，0），点C的坐标为（0，-3）．点P为抛物线y=x2+bx+c上的一个动点．过点P作PD⊥x轴于点D，交直线BC于点E．
（1）求b、c的值；
（2）设点F在抛物线y=x2+bx+c的对称轴上，当△ACF的周长最小时，直接写出点F的坐标；
（3）在第一象限，是否存在点P，使点P到直线BC的距离是点D到直线BC的距离的5倍？若存在，求出点P所有的坐标；若不存在，请说明理由．
【考点】二次函数综合题．
【答案】见试题解答内容
【解答】
【点评】
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发布：2024/6/27 10:35:59组卷：2654引用：11难度：0.4
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1．已知抛物线C1：y=ax2-2ax+c经过点C（2，3），与x轴交于A（-1，0），B两点，与y轴交于D点．
（1）求抛物线C1的解析式；
（2）如图1，P为直线AC上方抛物线C1上的动点，过P点作PE⊥AC于点E，若AE=3PE，求P点坐标；
（3）如图2，将抛物线C1沿x轴平移得C2，使C2的顶点落在y轴上，若过定点F（0.5，1）的直线交抛物线于M、N两点，过M点的直线y=-x+b与抛物线交于点P，求证：直线NP必过定点．
发布：2025/6/13 12:30:10组卷：553引用：2难度：0.2 -
2．如图，抛物线y=a（x-h）2+k（a≠0）的顶点为A，对称轴与x轴交于点C，当以AC为对角线的正方形ABCD的另外两个顶点B、D恰好在抛物线上时，我们把这样的抛物线称为“美丽抛物线”，正方形ABCD为它的内接正方形．
（1）当抛物线y=ax2+1是“美丽抛物线”时，则a=；
当抛物线y=-x2+k是“美丽抛物线”时，则k=；14
（2）若抛物线y=ax2+k是“美丽抛物线”，则a,k之间的数量关系为 ．发布：2025/6/13 13:0:4组卷：219引用：2难度：0.4 -
3．如图，顶点在y轴上的抛物线与x轴交于点A、B，且A点的坐标为（1，0），与y轴交于点C（0，1）．
（1）求抛物线的解析式，并求出点B坐标；
（2）过点B作BD∥CA交抛物线于点D，连接BC、CA、AD，求四边形ABCD的周长和面积（结果保留根号）；
（3）在x轴上方的抛物线上是否存在点P，过点P作PE垂直于x轴，垂足为点E，使以B、P、E为顶点的三
角形与△CBD相似？若存在请求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．
发布：2025/6/13 13:30:1组卷：25引用：1难度：0.1
