17世纪荷兰数学家舒腾设计了多种圆锥曲线规，其中的一种如图1所示．四根等长的杆用铰链首尾链接，构成菱形LF2KQ．带槽杆QF1长为22，点F1，F2间的距离为2，转动杆QF1一周的过程中始终有|QE|=|EF2|．点M在线段F1F2的延长线上，且|MF2|=1．
（1）建立如图2所示的平面直角坐标系，求出点E的轨迹Γ的方程；
（2）过点F2的直线l1与Γ交于A，B两点．记直线MA，MB的斜率为k1，k2，证明：k1+k2为定值；
（3）过点M作直线l2垂直于直线F1F2，在l2上任取一点N，对于（2）中的A，B两点，试证明：直线NA，NF2，NB的斜率成等差数列．
2
2
【答案】（1）；
（2）证明见解析；
（3）证明见解析．
x
2
2
+
y
2
=
1
（2）证明见解析；
（3）证明见解析．
【解答】
【点评】
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发布：2024/6/27 10:35:59组卷：218引用：3难度：0.1
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1．点P在以F1，F2为焦点的双曲线
（a＞0，b＞0）上，已知PF1⊥PF2，|PF1|=2|PF2|，O为坐标原点．E：x2a2-y2b2=1
（Ⅰ）求双曲线的离心率e；
（Ⅱ）过点P作直线分别与双曲线渐近线相交于P1，P2两点，且，OP1•OP2=-274，求双曲线E的方程；2PP1+PP2=0
（Ⅲ）若过点Q（m,0）（m为非零常数）的直线l与（2）中双曲线E相交于不同于双曲线顶点的两点M、N，且（λ为非零常数），问在x轴上是否存在定点G，使MQ=λQN？若存在，求出所有这种定点G的坐标；若不存在，请说明理由．F1F2⊥（GM-λGN）发布：2024/12/29 10:0:1组卷：72引用：5难度：0.7 -
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．5
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3．若过点（0，-1）的直线l与抛物线y2=2x有且只有一个交点，则这样的直线有（ ）条．
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